Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden

Question

Aufgabe:

Der Lotfußpunkt F eines Punktes Q auf einer Geraden g lässt sich auch mithilfe einer zu g orthogonalen Hilfsebene bestimmen. Bestimmen Sie auf diese Weise den Abstand des Punktes Q von der Geraden g:

Q(1|-4|3) ,g: x= (1|5|14)+t*(-2|2|3)

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht ganz wie ich F berechne und dann den Abstand bekommen kann.

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https://studyflix.de/mathematik/lotfuspunktverfahren-2010

Answer 1

Hilfsebene

X·[2, -2, -3] = [1, -4, 3]·[2, -2, -3]
2·x - 2·y - 3·z = 1

Gerade in H einsetzen

2·x - 2·y - 3·z = 1
2·(1 - 2·t) - 2·(5 + 2·t) - 3·(14 + 3·t) = 1 --> t = -3

Lotfußpunkt

[1, 5, 14] - 3·[-2, 2, 3] = [7, -1, 5]

Abstand des Punktes vom Lotfußpunkt

|[1, -4, 3] - [7, -1, 5]| = 7

Comments

Warum hast du am Anfang (2|-2|-3) , weil es steht nirgends und ich versteh nicht wie du drauf kommst.

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Du kannst den Richtungsvektor [-2, 2, 3] mit -1 multiplizieren. Das mache ich damit die Ebenengleichung

2·x - 2·y - 3·z = 1 statt -2·x + 2·y + 3·z = -1

lautet. Das ist also nur ein kleiner kosmetischer Eingriff. Du kannst auch genauso gut [-2, 2, 3] benutzen. Probier das ruhig mal aus.

Answer 2

Die Ebene E durch Q mit dem Normalenvektor \( \begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix}  \)

hat die Gleichung -2x+2y+3z = d und Einsetzen von Q ergibt d=-1.

Diese mit g schneiden ergibt den Lotfußpunkt F des Lotes von Q auf g.

Comments

F ist bei dieser Aufgabe keine Ebene sondern ein Punkt.