Welche rationale Beziehung besteht zwischen a und m≠0?

Question

Sei x=m²a², y=m-m²a² und z=1-m²a. Welche rationale Beziehung besteht zwischen a und m≠0, damit x³+y³+z³=1?

Comments

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\( 3 a^{4} m^{5}-a^{3} m^{6}-3 a m^{2}+m^{3} =0\)

 \( 3 am^2(a^3 m^3-1)-m^3(a^{3} m^3-1) =0\)

\( (3 am^2-m^3)(a^{3} m^3-1) =0\)

\(m^2 (3 a-m)(a^{3} m^3-1) =0\)

Da m ≠ 0 ist, muss einer der Klammerterme gleich Null sein.

m=3a oder m=1/a

Es gibt unendlich viele relle Lösungen.

Answer 1

Wenn man alles einsetzt und die Klammern auflöst wird aus x³+y³+z³=1

nach dem Zusammenfassen die Gleichung

 \(  3a^4m^5-a^3m^6-3am^2+m^3=0   \)

Da m≠0 kann man dividieren durch m^2 und hat

\(  3a^4m^3-a^3m^4-3a+m=0  \)

<=>  \(  m^3a^3 (3a-m)-(3a-m)=0  \)

<=>  \(  (m^3a^3-1) (3a-m)=0  \)

Das ist sicherlich erfüllt, wenn m=3a gilt.

Comments

Substituiere

z = m^3*a^3

und faktorisiere

z^3 - 1 = (z - 1)·(z^2 + z + 1)

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Das ist sicherlich erfüllt, wenn m=3a gilt....und wenn am=1 gilt.

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Wer ist jetzt b ?

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Mein blöder Fehler wurde von mir korrigiert.

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Ist der nicht-korrigierte Fehler nicht blöd ?

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Also wohl so:

Das ist genau dann  erfüllt, wenn m=3a oder  am=1 gilt.

Answer 2

Wenn man sich die Aufgabe genau durchliest, dann reicht da meines Erachtens schon der Hinweis, dass \(a, m\neq 0\) gilt und es eine rationale Beziehung zwischen \(m\) und \(a\) gibt. Der Hinweis suggeriert, dass entweder \(a\), \(m\) oder das Produkt \(am\) in dieser Beziehung im Nenner vorkommen. Ansonsten wäre die Einschränkung überflüssig bzw. die Lösung der Aufgabe auch trivial, weil dann \(x=y=0\) und \(z=1\) gilt.

Vermutung: \(m=\frac{1}{a}\)  bzw. \(a=\frac{1}{m}\). Das ist der einfachste rationale Zusammenhang zwischen den beiden Variablen und wenn man das nachrechnet geht das auch sofort auf, denn dann ist \(x=1\) und \(y=-z\) und somit die Bedingung erfüllt.

Comments

\(a=\frac{1}{m}\). Das ist der einfachste rationale Zusammenhang

m=3a ist auch nicht komplizierter.

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Der Hinweis suggeriert, dass entweder \(a\), \(m\) oder das Produkt \(am\) in dieser Beziehung im Nenner vorkommen.

Immer wieder schön, wenn man nur die Hälfte liest. ;)

Aber gut, dieser eher "naive" Ansatz liefert natürlich keine weiteren Lösungen.

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\(a=\frac{1}{m}\). Das ist der einfachste rationale Zusammenhang

Wie kommt man darauf? Wie kann man die Aufgabe am schnellsten oder elegantesten lösen?

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Wie kommt man darauf?

Man ist in der Lage, (a³m³-1)=0 zu interpretieren.

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ggT22, deine Frage wird durch die Lösung von mathef insofern beantwortet, als es den 'schnellen' Weg nicht gibt (wie so oft im Leben). Leider vergisst mathef in der letzten Zeile, eine mögliche Beziehung zu notieren. Sonst wäre es die beste Lösung gewesen.

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Wie kommt man darauf? Wie kann man die Aufgabe am schnellsten oder elegantesten lösen?

Wie ich darauf gekommen bin, habe ich ja erläutert. Das war in dem Fall wirklich kurz überlegen und ausprobieren. Den Standardansatz über das stupide einsetzen wollte ich nicht machen. Aber klar, dadurch fehlt natürlich die andere Lösung.

Answer 3

(m^2·a^2)^3 + (m - m^2·a^2)^3 + (1 - m^2·a)^3 = 1

3·a^4·m^5 - a^3·m^6 - 3·a·m^2 + m^3 = 0

m^2·(3·a - m)·(a·m - 1)·(a^2·m^2 + a·m + 1) = 0

a = m/3

a = 1/m

a^2·m^2 + a·m + 1 = 0 → Keine reelle Lösung