Aloha :)
Deine Frage wird klar, wenn wir die Gleichung lösen und uns das Ergebnis ansehen:
$$\left.x^2+px+q=0\quad\right|\;-q$$$$\left.x^2+p=-q\quad\right|\;+\left(\frac{p}{2}\right)^2$$$$\left.x^2+p+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\quad\right|\;\text{links die 1-te binomische Formel anwenden}$$$$\left.\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\quad\right|\;-\frac{p}{2}$$$$\left.x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\quad\right.$$
Die Diskrimanten ist der Wert unter der Wurzel: \(D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)
Damit gehen wir nun die 4 Fälle durch:
a) \(q>0\)
In der Diskriminante wird etwas Positvies subtrahiert. Daher kann \(D<0\) werden, muss aber nicht. Hier sind also 2 Lösungen (\(D>0\)) oder 1 Lösung (\(D=0\)) oder auch keine Lösung (\(D<0\)) möglich.
b) \(q<0\)
Von der Diskriminante wird etwas Negatives subtrahiert. Daher ist \(D>0\). Es gibt genau 2 Lösungen.
c) \(q=0\)
Es gibt zwei mögliche Lösungen: \(x_1=p\) und \(x_2=0\). Wenn auch \(p=0\) ist, gibt es nur genau eine Lösung, nämlich \(x=0\).
d) \(p=0\)
Die Lösungen reduzieren sich auf \(x=\pm\sqrt{-q}\). Es gibt also genau 2 Lösungen, wenn \(q<0\) ist. Es gibt genau 1 Lösung, wenn \(q=0\) ist. Es gibt keine Lösung, wenn \(q>0\) ist.
