Welche Beziehung besteht zwischen den Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung, wenn usw.?

Question

Wie beantwortet man diese Frage zur quadratischen Gleichung?

Aufgabe:

„Welche Beziehung besteht zwischen den Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung“

x2+px+q=0, wenn

a) q>0

b) q<0

c) q=0

d) p=0

Mein Lösungsvorschlag bei a) wäre, dass wir am Ende zwei Lösungen haben, weil die Diskriminante D>0 ist

bei b) keine Lösung (D<0)

c) eine und bei d) wieder eine Lösung?

Answer 1

Aloha :)

Deine Frage wird klar, wenn wir die Gleichung lösen und uns das Ergebnis ansehen:

$$\left.x^2+px+q=0\quad\right|\;-q$$$$\left.x^2+p=-q\quad\right|\;+\left(\frac{p}{2}\right)^2$$$$\left.x^2+p+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\quad\right|\;\text{links die 1-te binomische Formel anwenden}$$$$\left.\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\quad\right|\;-\frac{p}{2}$$$$\left.x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\quad\right.$$

Die Diskrimanten ist der Wert unter der Wurzel: \(D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)

Damit gehen wir nun die 4 Fälle durch:

a) \(q>0\)

In der Diskriminante wird etwas Positvies subtrahiert. Daher kann \(D<0\) werden, muss aber nicht. Hier sind also 2 Lösungen (\(D>0\)) oder 1 Lösung (\(D=0\)) oder auch keine Lösung (\(D<0\)) möglich.

b) \(q<0\)

Von der Diskriminante wird etwas Negatives subtrahiert. Daher ist \(D>0\). Es gibt genau 2 Lösungen.

c) \(q=0\)

Es gibt zwei mögliche Lösungen: \(x_1=p\) und \(x_2=0\). Wenn auch \(p=0\) ist, gibt es nur genau eine Lösung, nämlich \(x=0\).

d) \(p=0\)

Die Lösungen reduzieren sich auf \(x=\pm\sqrt{-q}\). Es gibt also genau 2 Lösungen, wenn \(q<0\) ist. Es gibt genau 1 Lösung, wenn \(q=0\) ist. Es gibt keine Lösung, wenn \(q>0\) ist.

Comments

Jetzt ergibt die Aufgabe einen Sinn. Vielen Dank!!

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Jetzt ergibt die Aufgabe einen Sinn. Vielen Dank!!

Die Frage ist letztendlich worauf der Lehrer mit der Aufgabe hinaus will.

Was meint man mit "Beziehung zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung"?

Meint man damit die Anzahl der Lösungen oder etwas anderes. Ich hätte es anders interpretiert.

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Ich habe die Frage schon verstanden. Außerdem ist sie nicht zur Schularbeit gekommen. Trotzdem danke!

Lg nini

Answer 2

Hallo

 a) die Diskriminante ist doch D=p^2/4-q wenn  p^2/4>q>0 ist  D positiv, x1 und x2 liegen symmetrisch zu -p/2

q>0 und q>p^2/4 keine Lösung.

q<0 immer mindestens eine Lösung, x1=x2 falls -q=p^2/4 sonst symmetrisch zu -p/2

q=0 rechen aus! nur eine stimmt nicht!

p=0 keine oder 2 Lösungen je nach q

warum du einfach rätst und dir nicht jeweils die Lösung aufschreibst verstehe ich nicht!

Gruß lul

Comments

Ich habe bei der Aufgabe nicht geraten, denn ich bin sehr lange an sie gesessen und bin auf dieser Idee kommen und wollte entweder eine Bestätigung, dass meine Antwort möglicherweise richtig sei und wenn nicht, dass man mich verbessern soll und erklären soll, warum sie falsch sei, 

Ich bedanke mich dennoch für Ihre Antwort!

Lg nini

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Mein Lösungsvorschlag bei a) wäre, dass wir am Ende zwei Lösungen haben, weil die Diskriminante D>0 ist

Wenn du das in einer Arbeit schreiben würdest, dann würde der Lehrer auch vermuten das es geraten oder beim Nachbarn abgeschrieben worden ist.

Wenn du Aufschreibst das die Diskriminante D > 0 ist solltest du das auch mathematisch begründen können.

Und dazu gehört wenigstens die Formel für die Diskriminante aufzuschreiben. Da du das nicht gemacht hast kann man nur schlussfolgern das es geraten ist.

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In der Aufgabenstellung stand nicht, dass wir es begründen sollen. Außerdem ist das die mathematische Fachsprache. Schließlich weiß man, wenn man D<0 schreibt, dass die Diskriminante kleiner 0 ist und es daher keine Lösungen gibt. Auch:

(p÷2)-q<0      D<0

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(p÷2)-q<0      D<0

Entweder hast du dich vertippt oder du kennst die Formel der Diskriminante nicht.

Ist mir jetzt aber auch egal. Wenn du D > 0 schreibst und es nicht begründest dann kann ich falsch dahinter schreiben. q brauchst ja nur größer als (p/2)^2 sein damit die Diskriminante negativ ist.

Answer 3

Leider ist bislang keiner Richtig auf die Frage eingegangn

Welche Beziehung besteht zwischen den Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung

x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q)

Ich fange mal mit c) q = 0 an

x = -p/2 ± √((p/2)^2 - 0) = -p/2 ± p/2

Hier hat man die Nullstellen bei 0 und bei p. D.h die Nullstellen haben den Abstand von p wobei eine genau im Ursprung liegt.

Mache jetzt mal a) und b) gehe dabei auf die genaue Lage der Nullstellen und auf den Abstand der Nullstellen ein.

Also letztes kannst du noch untersuchen was passiert wenn p = 0 ist. Dann liegen die Nullstellen (für q < 0) symmetrisch zum Ursprung und haben einen Abstand von 2√(-q).

Was passiert hier für q = 0 oder q > 0?

Comments

Welche Beziehung besteht zwischen den Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung

Das zielt in der Regel auf den Satz von Vieta (wie gestern schon ein paar mal).

Der Fragesteller wollte aber mit der Diskriminante etwas tun, ohne die Diskriminante auszurechnen. Ich warte seit langem auf die Angabe der Formel für die Diskriminante.

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Hallo Mathecoach

x^2+px=0 mit der pq Formel lösen ist find ich schlimm, wenn man das SuS vorführt!

lul

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Welche Beziehung besteht zwischen den Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung?

@lul: Die Symmetrie von Lösungen ist vermutlich schon das Ziel dieser Fragestellung. Da lässt sich auch bei der Definitionsmenge ℂ relativ viel sagen.

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Hallo Mathecoach
x^2+px=0 mit der pq Formel lösen ist find ich schlimm, wenn man das SuS vorführt!
lul

Völlig richtig. Normal würde man hier einfach ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Die SuS sollten hier aber die Bedeutung der Wurzel verstehen. Das die Wurzel ja genau den halben Abstand der Lösungen ergibt.

Deswegen hatte ich

x = -p/2 ± p/2

Der halbe Abstand der Lösungen ist hier also einfach p/2.

Und diese Erkenntnis sollte jetzt die Fragesteller im Idealfall selber auf die Aufgaben a) und b) anwenden können und dann Aussagen bezüglich der Lösungen geben können.

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Hallo

was meinst du mit " die Bedeutung der Wurzel verstehen" . "Das die Wurzel ja genau den halben Abstand der Lösungen ergibt" .

ob der Frager das wohl kapiert? der nicht mal D aufschreibt?

lul

Answer 4

Deine Antworten passen so leider nicht.

Wie lautet denn eure Formel für die Diskriminante?

x2+px+q=0, wenn

c) q=0

x^2 + px = 0     | x ausklammern

x(x+p) = 0

x1 = 0, x2 = -p

Falls p ≠ 0, hat diese Gleichung zwei Lösungen, falls p=0 nur eine Lösung. 

d) p=0

x^2 + q = 0  <==> x^2 = -q

Falls q > 0, hat diese Gleichung keine Lösung,

Falls q = 0 hat diese Gleichung nur die Lösung x1 = 0

Falls q < 0 hat diese Gleichung die Lösungen x1 = √(-q) und x2 = - √(-q)