Die Aufgabe scheint darauf abzuzielen, den folgenden Grenzwert zu benutzen:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac tn\right)^n = e^t$$
Jetzt musst du nur noch den Folgenterm entsprechend umformen:
$$a_n = \frac{x^n}{n^n}\cdot n^n\left(1+\frac{2x}n\right)^n\cdot \frac 1{x^n}\left(\frac xn + 1\right)^n$$
Jetzt darfst du gern selber kürzen.
Du solltest \(e^{3x}\) herausbekommen.
Ergänzung zur 2. Folge:
\(a_n = (-1)^n\underbrace{\left( 1 +\frac xn \right)^n}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}e^x}\)
Damit finden wir zwei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten. Setze dazu für \(k\in\mathbb N\):
\(\displaystyle n_k=2k \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = e^x\)
\(\displaystyle n_k=2k-1 \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = -e^x\)
Also ist die Folge divergent.
