Bestimmen Sie die eindeutige symmetrische bilinearform, deren quadratischen Form Q ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die eindeutige symmetrische bilinearform, deren quadratischen Form Q ist

Problem/Ansatz:

Q ist dabei Q: R^4 - > R, Q(x1, x2, x3, x4) = (x1) ^2 +(x2) ^2 - (x3) ^2 - (x4) ^2  . Wie geht man da vor? In Skript steht dass wenn man zweimal das gleiche einsetzt in die bilinearform bekommt man die quadratische aber irgendwie habe ich hier vier Variablen. Außerdem soll ich eine Ebene U teilmenge R^4 bestimmen dass Q beschränkt auf U auf 0 abbildet. Was heißt das? Kann ich da einfach irgendwas eindimensionales nehmen?

Answer 1

Sei \(V=\mathbb{R}^4\). Man gewinnt die Bilinearform

durch Polarisation:

\(B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2\).

In unserem Falle gibt dies

\(B(x,y)=x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4\).

Was \(U\) anbetrifft:

was passiert denn, wenn \(x_1=x_3\) und \(x_2=x_4\) ist?

Comments

Also ist die Bilinearform: R^4 x R^4 -> R ?

Kann man als U nicht zb U =[(1 1 1 1)] nehmen, weil dann wird es ja alles 0 oder zählt das nicht als Ebene?

Übrigens muss ich auch noch zeigen, dass U nicht dreidimensional sein kann...

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\([(1,1,1,1)] \) ist doch eindimensional, also keine Ebene.

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Ab wann ist es ebene? Zwei Dimensionen?

Kann ich dann U=[(1 1 1 1),(1 0 0 1)] nehmen

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Ab wann ist es ebene? Zwei Dimensionen?

Eine Ebene ist per Definition ein 2-dimensionaler Unterraum.

Kann ich dann U=[(1 1 1 1),(1 0 0 1)] nehmen

Ja. Das ist OK.

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Danke.

Und hast du vielleicht einen "Tipp" wie man zeigen kann, dass U nicht dreidimensional sein kann?

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Sind \(G_1\) und \(G_2\) die Gram-Matrizen zu \(Q\) bzgl.

zweier Basen von \(V\), dann gilt

\(T^tG_2T=G_1\) mit einer invertierbaren Matrix \(T\), daher

\(\det(G_1)=\det(G_2)\det(T)^2\). Es gilt daher

\(\det(G_1)=0\iff \det(G_2)=0\).

Nun ist die Determinante der Gram-Matrix

bzgl. der Standard-Basis \(=1\neq 0\).

Wäre \(U\) 3-dimensional mit \(Q|U=0\) und

\(u_1,u_2,u_3\) eine Basis von \(U\), dann können wir

diese mit einem \(v\) zu einer Basis von \(V\) ergänzen.

Die Gram-Matrix zu dieser Basis hat dann die Gestalt

\(\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&*\\0&0&0&*\\0&0&0&*\\*&*&*&*\end{array}\right)\),

deren Determinante \(=0\) ist, Widerspruch!