Teilmengen von R³. Bestimmen Sie eine Basis von U1 ∩ U2.

Question

Aufgabe:

Seien U₁ = {(2a a b) | a,b ∈ ℝ} und U₂ = {(a a b) | a,b ∈ ℝ} Teilmengen von ℝ^3.

Bestimmen Sie eine Basis von U₁ ∩ U₂.

Problem/Ansatz:

Da ich Neuling bin auf diesem Gebiet, stellt sich mir die Frage bei einer Teilmenge mit nur einem Vektor ist das dann zugleich auch die Basis. Im Netz errechnet man diese mit mindestens 2 Vektoren. Ich finde hier irgendwie nicht den Ansatz da ich dazu keinerlei Bespiele finden kann. Kennt sich damit jemand von Euch aus und hilft mir bitte auf die Sprünge? VG

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(U_1\) wird duch 2 Basisvektoren aufgespannt, denn für alle Vektoren aus \(U_1\) gilt:$$U_1\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}2a\\a\\b\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad a;b\in\mathbb R$$

Die Menge \(U_2\) wird ebenfalls durch 2 Basisvektoren aufgespannt:$$U_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad a;b\in\mathbb R$$

Wir erkennen einen gemeinsamen Basisvektor, der sowohl in \(U_1\) als auch in \(U_2\) liegt:

$$U_1\cap U_2\colon\vec x=\lambda\cdot\pink{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$

\((U_1\cap U_2)\) hat also die Basis \((0;0;1)^T\) und ist die \(x_3\)-Achse des Koordinatensystems.

Comments

Das macht Sinn und super erklärt. Damit kann ich jetzt auch weiter machen mit U1+U2. Ich danke Dir.

Answer 2

Die Teilmengen \(U_1\) und \(U_2\) bestehen nicht nur aus einem Vektor. Etwas formaler notiert ist

        \(U_1 = \{x |\ \exists a\exists b:\ a\in\mathbb{R}\wedge b\in \mathbb{R}\wedge x = \begin{pmatrix}2a& a&b \end{pmatrix}\}\)

Zum Beispiel ist \(\begin{pmatrix}6& 3&9 \end{pmatrix}\in U_1\).

Beweis. Sei \(x = \begin{pmatrix}6& 3&9 \end{pmatrix}\).

Seien \(a = 3\), \(b = 9\). Dann ist die Aussage

        \(x = \begin{pmatrix}2a& a&b \end{pmatrix}\)

gültig. Wegen \(3\in \mathbb{R}\) und \(9\in\mathbb{R}\) und der Definition von \(\wedge\) ist dann auch die Aussage

        \(a\in\mathbb{R}\wedge b\in \mathbb{R}\wedge x = \begin{pmatrix}2a& a&b \end{pmatrix}\)

gültig. Aufgrund der Definition des Existenzquantors ist also die Aussage

        \(\exists a\exists b:\ a\in\mathbb{R}\wedge b\in \mathbb{R}\wedge x = \begin{pmatrix}2a& a&b \end{pmatrix}\)

gültig. Also ist \(x\in U_1\). q.e.d.

Auf analoge Weise kann man beweisen, dass auch \(\begin{pmatrix}10& 5&9 \end{pmatrix}\in U_1\) ist.

bei einer Teilmenge mit nur einem Vektor ist das dann zugleich auch die Basis

Nein, nie.

Entweder der Vektor ist der Nullvektor, dann ist die leere Menge die einzige Basis.

Oder der Vektor ist nicht der Nullvektor, dann ist die Teilmenge kein Vektorraum und hat somit keine Basis.

Comments

Oh danke, das Du gleich auch Zahlen als Beispiel mitgegeben hast, so wird es gleich für mich verständlicher. Danke schön.