Beweisen einer Differentialgleichung von einer Potenzreihe

Question

Aufgabe:Beweisen Sie, dass die Funktion

y(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{(n!)^2}} \) , x∈ℝ

die Differentialgleichung

yʺ−xy′−y=0

erfüllt.

Problem/Ansatz:

Meine Lösung sieht bisher so aus. Da es sich um eine Potenzreihe handelt lässt sich y(x) gliedweise ableiten wobei

y′(x)=\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n-1}}{(n-1)!n!}} \) und

yʺ(x)=\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{x^{n-2}}{(n-2)!n!}} \)

Ich habe nun jede mir erdenkliche Art ausprobiert aber ich komme nicht auf die Lösung. Kann mir da jemand einen Tipp geben.

PS: Durch einen Indexshift habe ich die Ableitungen dann geschrieben als

y′(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!(n+1)!}} \)

yʺ(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!(n+2)!}} \)

Comments

Deine Nenner passen bei den Ableitungen nicht. Dort steht \((n!)^2\).

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Im crosspost bei online...mathe wurde festgestellt, dass die Dgl nicht erfüllt ist. Das solltest du fairerweise hier erwähnen.

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Aber (n!)^2 = n!n! und da kürzt sich ein n mit dem aus dem Zähler weg, welches sich durch das Ableiten ergibt. Oder nicht?

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Nun es ist eine Aufgabe gestellt von unserem Prof der der Meinung ist, dass sie erfüllt ist. Also suche ich hier eine 2. Meinung. Ich würde keins von beiden behaupten, aber ich würde in erster Linie dem Prof vertrauen. Aber kann natürlich trotzdem sein dass sie nicht erfüllt ist und der Prof sich irrt.

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Aber (n!)2 = n!n! und da kürzt sich ein n mit dem aus dem Zähler weg, welches sich durch das Ableiten ergibt. Oder nicht?

Du hast Recht. Ich hatte das zweite ! übersehen. Sorry.

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Ich komme auch darauf, dass die Funktion die Dgl nicht erfüllt. Übrigens ist Mathematik keine Meinungssache, Du kannst selbst prüfen, ob wir recht haben oder Dein Prof.

Lade mal die Aufgabe im Original (als Foto) hoch.

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Text erkannt:

A4.9 (8 Punkte) Beweisen Sie, dass die Funktion
\( y(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}, \quad x \in \mathbb{R} \)
die Differentialgleichung
\( y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0 \)
erfüllt.

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@Gast
Probier doch selber mal einen Potenzreihenansatz

\(y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) mit \(y(0) =y'(0) = 1\)

Du differenzierst die Potenzreihe und setzt in die DGL ein. So bekommst du eine Rekursion für die \(a_n\). Schon \(a_2\) passt nicht mehr zu deiner gegebenen Potenzreihe.