Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung als Potenzreihe mittels eines Potenzreihenansatzes.

Question

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Aufgabe 3. (8 Punkte) Für Hörer der Ergänzungsvorlesung: Biophysik, MIW, MML Gegeben sei die Differentialgleichung
\( f^{\prime}(x)=3 f(x)+6 \quad \text { mit der Anfangsbedingung } \quad f(0)=2 . \)
a) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung als Potenzreihe mittels eines Potenzreihenansatzes.
b) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für diese Potenzreihe an.

Aufgabe:

Answer 1

Hallo,

ich habe zwecks Vereinfachung f(x)=y gesetzt.

Setze: y=a0 +a1x +a2x^2 +..+ anx^n

y'= a1 +2a2x +..+

Setze y und y' in die DGL ein und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

a0=2

--------->

y'= 3y+6

a1 +2a2x= 3(a0 +a1x +a2x^2) +6

a1 +2a2x= 3(2 +a1x +a2x^2) +6

a1 +2a2x= 6 +3a1x +3a2x^2 +6

a1 +2a2x= 3a1x +3a2x^2 +12

------>Koeffizientenvergleich:

x:  2a2= 3a1 --->2*a2= 36 -->a2=18

1:  a1 = 12

-->

y=a0 +a1x +a2x^2 +..+ anx^n

y= 2+12x +18x^2 +..+ anx^n

Answer 2

Hallo

du setzest an f(x)=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_nx^n} \)

f'(x)=\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n*a_n*x^{n-1}} \)

jetzt im ersten Schritt f(0)=2 um a_0 zu bestimmen, dann einsetzen f'(0) ergibt a1  dann weiter mit Koeffizientenvergleich.

Endergebnis sollte sein f(x)=4*e^3x-2

Gruß lul

Answer 3

Es ist \(f''(x)=3\cdot f'(x)\), etc. ...

Daher \(f(0)=2\Rightarrow f'(0)=4\cdot 3\Rightarrow f''(0)=4\cdot 3\cdot 3\), etc ...,

Somit \(f^{(n)}(0)=4\cdot 3^n\) für \(n=1,2,3,\cdots\)

Die Formel für die Taylor-Reihe liefert dann$$f(x)=f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=2+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x)^n}{n!}=2+4(e^{3x}-1)=4e^{3x}-2$$