Aufgabe:
Zeige, dass der Arkustangens gegeben ist durch die Potenzreihe
arctan(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}} \)
Hinweis: Identitätssatz für differenzierbare Funktionen
Problem/Ansatz:
Generell ist mir die Vorgehensweise klar - zuerst habe ich gezeigt, dass für x=0 beide Terme gleich sind
arctan(0) = 0 = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{0^{2n+1}}{2n+1}} \)
Dann habe ich beide Terme abgeleitet.
Dabei komme ich auf
f'(x) = \( \frac{1}{1+x^{2}} \) (Ableitung des arctan)
g'(x) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2n+1}(2n+1)} \) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-x^2)^{n}} \)
Theoretisch sollte man nun ja über die geometrische Reihenformel zeigen, dass die Gleichheit stimmt, da g'(x) = \( \frac{1}{1-(-x^2)} \).
Nun gibt es aber ein Problem: g'(x) fängt bei n=1 zu summieren an, bei der geometrischen Reihe wird aber bei n=0 angefangen. Also trifft ja auch die Schreibweise \( \frac{1}{1-(-x^2)} \) nicht mehr zu.
Hat jemand eine Idee, wie ich da weiter komme?
Liebe Grüße
Niklas
