Basis beweisen bei Vektoren?

Question

Aufgabe:

Es bezeichne \( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{4} \) die Standardbasis von \( \mathbb{R}^{4} \). Weisen Sie jeweils nach, ob es sich bei den folgenden Vektoren um eine Basis handelt.
1. \( \mathbf{e}_{1}, 2 \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{4} \).
2. \( \mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}+\mathbf{e}_{4}, \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{4} \).
3. \( \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{4}, \mathbf{e}_{4}-\mathbf{e}_{1} \).
4. \( \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{3}-\mathbf{e}_{4}, \mathbf{e}_{4} \).

Problem/Ansatz:

Soll man überprüfen ob alle vier vektoren in einem eine basis bilden oder jeder vektor einzeln mit der standardbasis in Verbindung?

Answer 1

Besser formuliert wäre die Aufgabe mit "Prüfen Sie, ob...".

Du sollst jeweils die vier Vektoren nehmen und prüfen, ob sie eine Basis des \(\R^4\) bilden. Da drei oder fünf wäre die Antwort ja klar, bei vieren gibt es aber was zu tun.

Setze also die lineare Unabhängigkeit an, sortiere um und benutze, dass die Vektoren der Standardbasis ja als linear unabhängig bekannt sind. Setze keine Vektoren ein, arbeite nur mit den \(e_i\).

Comments

Hi danke für die Antwort. Soll ich jetzt die vier Vektoren in ein Gleichungssystem packen und hoffen, dass überall 0 rauskommt?

---

also ich habe das lgs gelöst und alles entspricht 0, nur ist e4 gleich 2 mal e3 und da weiß ich nicht wie ich weiter soll

---

Ich weiß nicht, 1. von welchem Aufgabenteil Du redest und 2. nicht welches LGS. Und sicher ist nie e4=2e3.

Du sollst keine Zahlen einsetzen, sondern mit den Angaben aus der jeweiligen Aufgabe (so wie's da steht) die lin. Unabhängigkeit ansetzen, also \(\lambda_1\cdot e_1+\lambda_2\cdot 2e_2 +...=0\) (für die erste Aufgabe). Weiter wie oben erklärt.

---

Kannst du mir zeigen wie das geht, ich kenne nur mittles lgs lin. abhängigkeit zu zeigen. Was ist denn das Ziel bei der Methode die nutzt, das alles gleich 0 ist?

---

Def. der lin. unabh.: wenn Summe=0 \(\implies\) alle \(\lambda\)'s=0, dann liegt lin. Unabh. vor (und somit eine Basis). Wenn es andere \(\lambda\)'s gibt, ist's eben nicht lin. unabh.

Ich hab Dir den Anfang genannt, fang also an. Danach (ich wiederhole) "sortiere um und benutze, dass die Vektoren der Standardbasis ja als linear unabhängig bekannt sind". Dann lass sehen wie weit Du gekommen bist. Schreib Dir die Def. der lin. Unabh. der Standardbasis als Hilfe dazu (mit Koeffizienten \(\mu_i\)).

---

Hi ich verstehe deinen Ansatz leider immernoch nicht aber mir ist ein neuer eingefallen, könnte ich nicht einfach die Determinante von allen vier Vektoren berechnen und wenn es ungleich 0 ist, ist es ja lin abhängig oder nicht?

---

Das ginge, ich meine aber das ist nicht der Sinn der Aufgabe. MMn sollst Du es ja ohne Zahlen rechnen, nur mit den Angaben. Ich hab Dir gesagt, was Du hinschreiben sollst, das geht ohne Denken. Hast Du das gemacht? Lass sehen.

---

Text erkannt:

Acufoabe!
Oef: lin. Unathaingigheil: Wemm Summe \( =0 \Rightarrow \) alle \( \lambda=0 \), clam higf lin. anabh. Ver und somit eine Basis:
1. \( \lambda_{1} \cdot e_{1}+\lambda_{2} \cdot 2 e_{2}+\lambda_{3}\left(e_{3}-e_{4}\right)=\lambda_{1} \cdot e_{1}+\lambda_{2} \cdot 2 e_{2}+\lambda_{3} e_{3}-\lambda_{3} e_{4}=0 \) 'sda Shamlaralasis Oergibf wem alle \( \lambda=0 \)
2.
\( \begin{array}{l} \lambda_{1} \cdot\left(e_{1}+e_{2}\right)+\lambda_{2}\left(e_{1}-e_{2}\right)+\lambda_{3}\left(e_{3}+e_{4}\right)+\lambda_{4}\left(e_{3}-e_{4}\right) \\ =\lambda_{1} e_{1}+\lambda_{1} e_{2}+\lambda_{2} e_{1}-\lambda_{2} e_{2}+\lambda_{3} e_{3}+\lambda_{3} e_{4}+\lambda_{4} e_{3}-\lambda_{4} e_{4}=0 \end{array} \)

Is wem alle \( \lambda=0 \)
\( \text { 3. } \begin{aligned} & \lambda_{1}\left(e_{1}-e_{2}\right)+\lambda_{2}\left(e_{2}-e_{3}\right)+\lambda_{3}\left(e_{3}-e_{4}\right)+\lambda_{4}\left(e_{4}-e_{1}\right) \\ = & \lambda_{1} e_{1}-\lambda_{1} e_{2}+\lambda_{2} e_{2}-\lambda_{2} e_{3}+\lambda_{3} e_{3}-\lambda_{3} e_{4}+\lambda_{4} e_{4}-\lambda_{4} e_{7}=0 \end{aligned} \)

Shoun alle \( \lambda=0 \)

Ich bin wahrscheinlich komplett verloren aber hier ist das was ich verstanden hab xDD. Bräuchte nochmal eine Erklärung.

---

Du solltest vor allem sorgfältiger vorgehen.

Und grundsätzlich ist es nicht sinnvoll, drei Aufgaben parallel zu machen. Wir reden nur über die erste.

Nochmal (zum 2. bis 3. Mal, von oben kopiert) die Tipps:

1. lin. Unabhängigkeit ansetzen, also \(\lambda_1\cdot e_1+\lambda_2\cdot 2e_2 +...=0\) (für die erste Aufgabe)

(das ging schon schief - sorgfältig vorgehen).

2. sortiere um und

3. benutze, dass die Vektoren der Standardbasis ja als linear unabhängig bekannt sind. Hierzu war der Tipp: Schreib Dir die Def. der lin. Unabh. der Standardbasis als Hilfe dazu (mit Koeffizienten \(\mu_i\)).

Answer 2

Du sollst prüfen, ob die 4 angegebenen Vektoren eine Basis bilden. Das ist doch ziemlich eindeutig formuliert. Mit der Standardbasis hat das nichts zu tun.