Welche der Teilmengen von R^3 bilden eine Basis; sind linear unabh. oder abhängig? Bsp.{ (0,1,0) ; (1,0,1) ; (0,0,0) }

Question

Die Aufgabe lautet:

Welche der Teilmengen von R^3 sind linear unabhängig, bilden eine Basis und welche sind linear abhängig?

Das sind soweit meine Lösungen, jedoch weiß ich nicht welche eine Basis bilden.

     

1)  Teilmenge= { (1,1,1) ; (2,1,2) ; (0,0,1) }

      a=b=c= 0  -> somit linear unabhängig

 

2) Teilmenge= { (1,2,3) ; (2,1,4) ; (1,2,5) ; (4,2,1) }

     ist linear abhängig, da immer lineare Abhängigkeit gilt, wenn : n+1 Vektoren im R^n

 

3) Teilmenge= { (0,1,0) ; (1,0,1) ; (0,0,0) }

    durch umstellen auf eine Gleichung ergibt sich:

    b=0

    a=0

    b=0

    also linear unabhängig, aber ist es eine Basis?

 

4) Teilmenge= { (0,0,7) ; (1/3,0,0) ; (0,2,0) }

     a=b=c=0 , linear unabhängig

 

Würde mich über Hilfe sehr freuen :)

Answer 1

Sobald du in R^3 drei linear unabhängige Vektoren hast, kannst du die als Basis verwenden, da du mit ihnen alle andern Vektoren des R^3 darstellen kannst. 

Manchmal fordert man allerdings, dass die Basisvektoren ein Rechtssystem bilden (Orientierung) oder dass sie senkrecht aufeinander stehen. Wenn sie zusätzlich noch die Länge 1 haben, spricht man von einer orthonormierten Basis.

Zu 3): Was hast du hier genau gemacht? Der Nullvektor ist nie linear unabhängig von einem andern Vektor.

Du kannst ihn mit jedem Skalar ≠ 0 multiplizieren und bekommst trotzdem 0.

Schreib die Vektoren vertikal in:

a(0,1,0) + b(1,0,1) + c(0,0,0) = (0,0,0)

Resultat a=0, b=0, c beliebig, z.B. c=1. Somit keine Basis.

 

 2) Enthält vermutlich eine oder mehrere Basen. Das ist aber nicht gefragt.

 

 

Comments

Ich hatte die 3)

a * (0,1,0) + b(1,0,1) + c (0,0,0) = (0,0,0)

dadurch kam ich dann auf b= 0 / a=0 / b=0

 

Also ist die 3) linear abhängig?

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ja. 3) ist linear abhängig.

5(0,0,0) + 0(0,1,0) + 0(1,0,1) = (0,0,0) Deshalb linear abhängig.