Lineare Abhängigkeit - Drei verschiedene Vektoren sind zueinander linear abhängig. Einzeln aber nicht ?

Question

Aufgabe:

Untersuche ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind. 
v₁ = (2,-1,3)
v₂ = (1,1,-2)
v₃ = (3,-3,8)

Ansatz:

In die Matrize gesetzt und per Gausselimination gibt es keine saubere Zeilenstufenform, sondern 
eine freie Spalte. 
Folglich sind also diese drei Vektoren zueinander linear abhängig, siehe unten:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 3 & -2 & 8  \end{pmatrix} \)

Per Gausselimination in Zeilenstufenform gesetzt, ergibt:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix} \)


Nun habe ich per Hand ausrechnen wollen, welche Vektoren v1,v2,v3 tatsächlich zueinander linear abhängig sind, damit ich weiss, welchen "Übeltäter" ich eliminieren muss, das würde mir helfen die Matrix und den Zusammenhang mit der Zeilensutfenform und linearer unabhängigkeit und freien Spalten und linearer abhängigkeit zu verstehen. Wenn ich dann diesen gefunden habe, könnte ich diesen Vektor dann so umändern um dann ein komplett linearunabhängige Matrix zu kriegen. 

Problem:

Wenn ich das so machen will. Teste ich "per Hand" und finde dass alles lin. unabh. sind. 

a*v₁ + b*v₂ = 0
=> a = b = 0
=> linear unabh.

a*v₁ + b*v₃ = 0
=> a = b = 0
=> linear unabh.

a*v₂ + b*v₃ = 0
=> a = b = 0
=> linear unabh.

Frage
Es sind alle zueinander im einzelnen Vergleich linear unabhängig aber insgesamt in einer 3x3 Matrix nicht,
Wie ist das zu verstehen bzw. möglich ? 

Answer 1

Wie ist das zu verstehen bzw. möglich ? 

Das bedeutet, dass die drei Vektoren komplanar, aber nicht kollinear sind. Sie spannen also eine gemeinsame Ebene auf und keine zwei von ihnen sind parallel zueinander.

Comments

Also, komplanar heisst, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen und und in diesem Fall nicht parallel sind. 

Also ich habe in der Pause überlegt und die Matrix von oben nach dem sie in Zeilenstufenform gebracht wurde ist schreibbar als LGS in folgender Form:

1x1 0x2 2x3 = 0
0x1 1x2 -1x3 = 0 
0x1 + 0x2 + x3 = 0 

Also 

x1 + 2x3 = 0 
x2 - x3 = 0 

Idee

Damit ich überprüfen oder nachweisen kann, dass die Null die Eindeutige Lösung ist, muss nach einem LGS eine Eindeutige Lösung vorliegen. Für lineare Unabhängigkeit ist die Lösung = 0 zwingend. Und diese eindeutige Lösung kann nur dann vorliegen wenn man drei Variabeln hat und as Gleichungssystem in ZSF bringen kann, was oben offensichtlich nicht der Fall ist. 

In meinem LGS, das ich aus der Matrize lese, gibt es keine Lösung. Sie ist also unterbestimmt. Denn es hat mehr Unbekannte als Gleichungen im LGS. 

Kann ich so für die lineare Abhängigkeit argumentieren ? 




Vorgehen für Komplanarität
v1, v2, v3 sind komplanar.
Gibt es ein Vorgehen wie ich das herausfinden/zeigen kann  ?

Idee
Ein Vektor aus v1, v2, v3 muss als Linearkombination der zwei anderen darstellbar sein? 

also zum Beispiel:

a*v1 + b*v2 = v3

a*v1 + b*v3 = v2

a*v2+ b*v3 = v1

Wobei v1, v2, v3 ≠ 0v und a,b ∈ ℝ\{0}

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Das ist soweit richtig. Man kann auch einen Lösungsvektor aus dem Gaußverfahren benutzen, etwa (-2,1,1). Damit ist

-2*v_1 + v_2 + v_3 = 0

und damit sind die drei Vektoren als Ganzes linear abhängig, also mindestens komplanar.