Entscheiden Sie, ob die Mengen linear abhängig oder unabhängig über R sind!

Question

Wir betrachten den R-Vektorraum R⁴
Entscheiden Sie, ob die Mengen
M₁ := {(1, 2, 0, −1),(0, 1, 1, 0),(−1, 0, 2, 1)}, M₂ := {(−1, 1, 0, 0),(0, 1, 2, 0),(0, 0, 2, 3)} bzw.
M₃ := {(1, 0, 0, 3),(0, 1, 3, 0)}
linear abhängig oder unabhängig über R sind!

Bonus: Es gibt oben eine R-linear unabhängige Menge, in die der Vektor (−1, 0, −2, 0)
so hineingetauscht werden kann, dass wieder eine R-linear unabhängige Menge herauskommt. Welche
ist es und wie kann getauscht werden?

Mein Ansatz:

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Bonusaufgabe richtig verstanden habe. Ich verstehe Sie so: Einer der beiden linearen unabhängigen Mengen, wird jetzt weiter verwendet und ich muss hierbei einen der Vektoren aus der Mengen mit dem neuen austauschen und muss somit wieder eine linear unabhängige Menge erhalten. Nach dem Auschsschlussverfahren, kann es M3 nicht sein, da egal welchen Vektor ich austausche auf jedenfall ein Gleichungssystem mit 0+0=0 erhalte und diese somit lin. abhängig ist, also kann es nur M2 sein, jedoch nicht der dritte Vektor "z", weil da auch wieder 0+0+0=0, sondern entweder "x" oder "y", dass habe ich unten rechts im Bild mal für beide Vektoren versucht und bei beiden kam wieder lineare unabhängigkeit heraus, also ist es egal ob ich den Vektor "x" oder "y"  austausche, aber vll habe ich auch die Aufgabe falsch verstanden und es ist total falsch.^^

Mit der lineare unabhängigkeit bei M3 bin ich mir auch etwas Unsicher, man könnte ja theoretisch die 1 Gleichung mit 3 Multiplizieren und diese mit der 4 Gleichung subtrahieren und erhält dementsprechend auch 0+0=0 was ja lin. abhängig wäre.

Hoffe das ist nicht zuviel auf einmal und ihr könnt mir irgendwie folgen.^^

Answer 1

Bei der 1. Menge hast du Glück gehabt. Die eine

Zeile mit 0en sagt noch nichts.  Du hast ja nur drei

Variablen, um lin. abh. zu

begründen dürften nur 2 von 0 verschiedene Zeilen

übrig bleiben.  Wenn du weiter umformst, entstehen

die aber in der Tat. kurz.   M1 ist wirklich lin. abh.

Sonst ist es richtig und den Zusatz verstehe ich so:

Man kann bei M3 den ersten Vektor durch

Vektor (−1, 0, −2, 0)  ersetzen und sie bleibt lin. unabh.

Comments

Abend mathef, meinst du so? Für M1...

Oder noch weiter umformen?

Wegen dem Zusatz:

Also sind M2 und M3 linear unabhängig, ausgetauscht mit dem neuem Vektor, habe ich  das ganze mal bei Wolfram Alpha eingegeben, mit deinem in M3 und meinen zweien in M2 und bei allen kam wieder lin. unabhängig heraus. Ist das jetzt egal welches ich nehme oder ist das in M3 das einzig richtige?

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M1 i8st so ok.

Und bei dem anderen ist es wohl egal.

Bei M3 sieht man es aber ( meine ich ) schneller

wegen der ersten beiden Komponenten.

Was mit (1,0,...)  und (0,1,....)

ist immer lin. unabh. und wenn

man bei dem ersten ( -1,0,....)

nimmt immer noch.

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Vielen vielen Dank! Das Beispiel mit M3 werde ich aber auch nehmen, fand auch das man es dort besser sieht, wollte vorsichtshalber noch mal nachfragen wegen des Verständnisses.^^

Schönen Abend noch!^^