Wir betrachten den R-Vektorraum R4
Entscheiden Sie, ob die Mengen
M1 := {(1, 2, 0, −1),(0, 1, 1, 0),(−1, 0, 2, 1)}, M2 := {(−1, 1, 0, 0),(0, 1, 2, 0),(0, 0, 2, 3)} bzw.
M3 := {(1, 0, 0, 3),(0, 1, 3, 0)}
linear abhängig oder unabhängig über R sind!
Bonus: Es gibt oben eine R-linear unabhängige Menge, in die der Vektor (−1, 0, −2, 0)
so hineingetauscht werden kann, dass wieder eine R-linear unabhängige Menge herauskommt. Welche
ist es und wie kann getauscht werden?
Mein Ansatz:
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Bonusaufgabe richtig verstanden habe. Ich verstehe Sie so: Einer der beiden linearen unabhängigen Mengen, wird jetzt weiter verwendet und ich muss hierbei einen der Vektoren aus der Mengen mit dem neuen austauschen und muss somit wieder eine linear unabhängige Menge erhalten. Nach dem Auschsschlussverfahren, kann es M3 nicht sein, da egal welchen Vektor ich austausche auf jedenfall ein Gleichungssystem mit 0+0=0 erhalte und diese somit lin. abhängig ist, also kann es nur M2 sein, jedoch nicht der dritte Vektor "z", weil da auch wieder 0+0+0=0, sondern entweder "x" oder "y", dass habe ich unten rechts im Bild mal für beide Vektoren versucht und bei beiden kam wieder lineare unabhängigkeit heraus, also ist es egal ob ich den Vektor "x" oder "y" austausche, aber vll habe ich auch die Aufgabe falsch verstanden und es ist total falsch.^^
Mit der lineare unabhängigkeit bei M3 bin ich mir auch etwas Unsicher, man könnte ja theoretisch die 1 Gleichung mit 3 Multiplizieren und diese mit der 4 Gleichung subtrahieren und erhält dementsprechend auch 0+0=0 was ja lin. abhängig wäre.
Hoffe das ist nicht zuviel auf einmal und ihr könnt mir irgendwie folgen.^^
