Entscheiden Sie, ob die folgenden Familien von Vektoren jeweils linear abhängig oder unabhängig sind.

Question

1)

(1, 2), (2, 3), (3, 4) ∈ ℝ².

 

2)

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) ∈ ℝ³.

 

3)

(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) ∈ ℝ³.

 

4)

$$ z,\bar { z } ,\quad wobei\quad 0\quad \neq \quad z\in ℂ,\quad wobei\quad ℂ\quad als\quad ℝ-Vekktorraum\quad aufgefaßt\quad wird. $$

Answer 1

1)

(1, 2), (2, 3), (3, 4) ∈ ℝ².

3 Vektoren im R² müssen linear abhängig sein.

 

2)

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) ∈ ℝ³.

-1 * [1, 2, 3] + 2 * [4, 5, 6] = [7, 8, 9] --> Linear Abhängig

 

3)

(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) ∈ ℝ³.

r * [1, 1, 0] + s * [1, 0, 1] = [0, 1, 1]

Hat keine Lösung, daher linear unabhängig.

Comments

4) z,z¯,wobei0≠z∈C,wobeiCalsR−Vekktorraumaufgefaßtwird

Betrachte hier die Vektoren [a, b] und a, -b.

für a ungleich null und b ungleich null sind die linear unabhängig.

Answer 2

   1) Drei Vektoren € |R ² sind immer linear abhängig.

    2)    Bilde die Determinante

      | 1 4 7 |

      | 2 5 8 | = ( 1a )

      | 3 6 9 |

      | 1 4 7 |

      | 2 5 8 | * 3 = ( 1b )

      | 1 2 3 |

    = 1 * 5 * 3 + 4 * 8 * 1 + 7 * 2 * 2 - 7 * 5 * 1 - 4 * 2 * 3 - 1 * 8 * 2 = ( 2a )

   = 15 + 32 + 28 - 35 - 24 - 16 = 15 + 8 ( 4 - 3 - 2 ) - 7 = 0   ===> abhängig   ( 2b )

    3)

    | 1 1 0 |

    | 1 0 1 |  = ( 3a )

    | 0 1 1 |

   = 1 * 0 * 1 + 1 * 1 * 0 + 0 * 1 * 1 - 0 * 0 * 0 - 1 * 1 * 1 - 1 * 1 * 1 = ( - 2 ) ===> unabhängig  ( 3b )

   4)sind unabhängig; fragt sich nur, welche Definition von |C und welches Vorwissen hier voraus gesetzt werden. Ich könnte ja hergehen und sagen, |C ist Zerfällungskörper des Pülynoms x ² + 1 ; dann folgt die aussage trivial.