R-Vektorräume R^2, R^3. Basis (x,y) des R^2 sodass die vier Familien (x, e1), (x,e2), (y,e1), (y,e2) linear unabhängig?

Question

Wir betrachten die R-Vektorräume R^2 und R^3

1. b)  Geben Sie eine Basis (x, y) des R^2 an, sodass die vier Familien (x, e1), (x,e2), (y,e1) und (y,e2) jeweils linear unabhängig sind. (Mit Beweis.) Hier bezeichnen e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) die Einheitsvektoren in der kanonischen Basis.

2. c)  Stellen Sie den Vektor v=(1,1,1) als Linearkombination von (0,1,0), (1, 0, −4) und (4, 2, 1) dar und stellen Sie w = (8, 5, 0) als Linearkombination von (0, 1, −2), (4, 2, 1) und (−4, 1, −7) dar.

3. d)  Für welche t ∈ R sind (1, 3, 2), (0, 4, 2) und (7, 1, t) linear abhängig? (Mit Beweis.) 

Comments

Stelle bei der 2 und 3 einfach Gleichungssysteme auf und löse sie dann mit Gauß :)

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Okay, danke! Hast du noch einen zur ersten?

Answer 1

zur ersten Aufgabe
wähle x=(1; -1 )  und  y = ( 1 ; 1 ) .

Bei 3 bekomme ich
lin. abh. nur für t=4.

Comments

Bei der letzten bin ich auch auf dein Ergebnis gekommen. Die erste werde ich gleich mal machen.

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Für Aufgabe 3 habe ich das selbe raus, 
Aufgabe 2 habe ich auch berechnet im LGS 
aber mit Aufgabe 1 komme ich nicht klar..

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zu Nr.1  Geben Sie eine Basis (x, y) des R2 an, sodass die vier Familien (x, e1), (x,e2), (y,e1) und (y,e2) jeweils linear unabhängig sind.

wenn du wählst x=(1; -1 )  und  y = ( 1 ; 1 )

dann musst du ja zeigen:  

a)   x,y bilden eine Basis

b)  x, e1 sind lin.unabh.

c) x,e2   sind lin.unabh.    etc.

zu a) Es sind 2 Stück und dim IR^2 = 2 , also bilden sie eine Basis, wenn

sie lin. unabh. sind. Um das zu zeigen, machst du einfach

a*x + b*y = 0-Vektor und zeigst:  Das hat nur die Lösung a=b=0.

Das ist so, weil  a*x + b*y = 0-Vektor bedeutet:

a*1 + y*1 = 0    und a*(-1) + b*1 = 0

einfach für beide Komponenten der Vektoren die Gleichungen hingeschrieben.

wenn du das löst erhältst du

a*1 + y*1 = 0   und   b=a  

2a = 0

a=0      und wegen b=a auch b=0

Also wie gewünscht a=b=0 ist die einzige Lösung.

Bei den anderen 4 lin. unabh.-Beweisen machst du es genauso.

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ahso ! Vielen lieben Dank! :D 
hab es jetzt verstanden!

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Wie muss das Gleichungssystem für 3. denn aussehen? Ist

(1, 3, 2) + (0, 4, 2) = (7, 1, t) 

richtig? Auf t = 4 komme ich damit, bin mir nur gerade nicht sicher, ob ich es richtig gemacht habe.

Außerdem verstehe ich nicht ganz, wie ihr bei 1. darauf kommt, x = (1, -1)  und  y = (1, 1) zu wählen. :/

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Wie muss das Gleichungssystem für 3. denn aussehen? Ist

(1, 3, 2) + (0, 4, 2) = (7, 1, t) 

richtig?

Nein,

x*(1, 3, 2) + y*(0, 4, 2)  = (7, 1, t)

wäre eine Möglichkeit . Das gibt x=7 y=-5 und t=4.

Eigentlich müsstest du alle drei Möglichkeiten, also auch

(1, 3, 2) =  y*(0, 4, 2)  +x* (7, 1, t)   und

(0, 4, 2)   = x* (7, 1, t)+ y*(1, 3, 2)   prüfen.

Das gibt aber in diesem Fall nichts Neues.

wie ihr bei 1. darauf kommt, x = (1, -1)  und  y = (1, 1) zu wählen. :/

Du brauchst ja jedenfalls Vektoren, die von den Einheitsvektoren

linear unabhängig sind, wegen des 2. Teils von 1.

Es darf also keiner so aussehen  (a,0)   oder (0,b)

Außerdem müssen die beiden selber lin. unabh.

sein, damit sie eine Basis für IR^2 bilden.

Man hätte auch (2,1) und (2,2) nehmen können oder so

was.

 

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x*(1, 3, 2) + y*(0, 4, 2)  = (7, 1, t) meinte ich natürlich. Habe nur scheinbar vergessen, x und y dazuzuschreiben, sorry. Es ging mir eigentlich auch nur darum, ob diese Form, zwei Vektoren auf die eine Seite zu packen und den dritten auf die andere, die richtige Idee war.

Die Nr. 1 hast du auch super erklärt, liebsten Dank für die schnelle und gute Antwort.