Vektor Schattenpunkt berechnen

Question

Aufgabe:

… Schattenpunkt bestimmen, bestimmen Sie den Schattenpunkt des Sendemastes wenn die Spitze des Sendemastes im Punkt S(10,5,42) liegt und die Sonnenstrahlen aus der Richtung mit dem Vektor V(4,2,-5) kommen gehen Sie davon aus, dass der Schatten auf der X1 und X2 Ebene liegt.

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Geradengleichung… aufgestellt und habe dabei den gesuchten Vektor als Ortsvektor genommen und den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor. Und das habe ich gleichgesetzt mit dem Punkt des Sendemastes. In der Lösung ist jedoch der Punkt des Sendemastes als Ortsvektor gegeben. Der Richtungsvektor ist derselbe und diese wurden gleichgesetzt mit dem unbekannten Vektor, der gesucht ist. Warum geht die erste Variante nicht?

Answer 1

Zur Terminologie: Geradengleichung lautet

        \(\vec{x} = \vec{a}+r\cdot \vec{b}\).

Dabei ist \(\vec{a}\) der Stützvektor, \(\vec{b}\) der Richtungsvektor. Mit der Geradengleichung können dann durch geeigente Wahl des Parameters \(r\) genau die Ortsvektoren \(\vec{x}\) der Punkte berechnet werden, die auf der Geraden liegen.

Als Stützvektor darfst du den Ortsvektor jedes Punktes der Geraden verwenden.

Ich habe eine Geradengleichung… aufgestellt und habe dabei den gesuchten Vektor als Ortsvektor genommen und den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor. Und das habe ich gleichgesetzt mit dem Punkt des Sendemastes.

Ich vermute du meinst, wie auch weiter unten, Stützvektor anstatt Ortsvektor. Dann ist das in Ordnung.

In der Lösung ist jedoch der Punkt des Sendemastes als Ortsvektor gegeben. Der Richtungsvektor ist derselbe und diese wurden gleichgesetzt mit dem unbekannten Vektor, der gesucht ist.

Das ist in Ordnung.

Warum geht die erste Variante nicht?

Wie kommst du darauf, dass das nicht geht?

Comments

Was ist der Unterschied zwischen Stützvektor und Ortsvektor?

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Wenn ich 0-5t=42 berechne bekomme ich ein negatives Ergebnis. In der Lösung steht ein positives Ergebnis

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Stützvektor, Ortsvektor, Richtungsvektor sind nicht unterschiedliche Arten von Vektoren. Vielmehr sind es unterschiedliche Rollen, die ein Vektor in bestimmten Zusammenhängen spielen kann.

Gegenüber dem Punkt S(10,5,42) spielt der Vektor

        \(\vec{s}=\begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix}\)

die Rolle des Ortsvektors.

In der Geradengleichung

        \(\vec{x} = \begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}\)

spielt der Vektor \(\vec{s}\) die Rolle des Stützvektors.

Der Vektor \(\vec{s}\) darf in einer Geraden, die durch den Punkt \(S\) verläuft, die Rolle des Stützvektors spielen, weil er gegenüber des Punktes \(S\) die Rolle des Ortsvektors spielt.

Sprachlich wird meistens nicht betont, das Vektoren lediglich eine Rolle spielen. Das ist in Ordnung, niemand sagt "Johnny Depp spielt die Rolle von Jack Sparrow", sondern "Johnny Depp ist Jack Sparrow". Aber wenn du eines der Wörter "Ortsvektor", "Stützvektor" oder "Richtungsvektor" in den Mund nimmst, dann solltest du auch erwähnen, in welchem Zusammenhang der Vektor diese Rolle spielt.

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Wenn ich 0-5t=42 berechne bekomme ich ein negatives Ergebnis. In der Lösung steht ein positives Ergebnis

Der Wert von \(t\) ist nur ein Zwischenergebnis auf dem Weg zum Endergebnis (dem Schattenpunkt).

Wenn du als Ansatz eine andere Geradengleichung als in der Musterlösung verwendest, dann ist es nicht verwunderlich, dass du als Parameter einen anderen Wert bekommst.

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Übrigens darfst du Vektorgleichungen fast genau so umformen, wie du das von Gleichungen mit Zahlen kennst. Lediglich Multiplikation von und Division durch Vektoren funktioniert nicht.

\(\begin{aligned} \begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}&&\left|-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\right.\\ \begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix} &= t\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}&&\left|-\begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix}\right.\\ -\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix} &= -\begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}&&\left|\cdot (-1)\right.\\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}10\\5\\42\end{pmatrix} - t\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}&&\\\end{aligned}\)

Vergleiche die erste Zeile mit deinem Ansatz.

Vergleiche die letzte Zeile mit dem Ansatz aus der Musterlösung.

Setze den von dir berechneten Wert von \(t\) in die letzte Zeile ein und vergleiche mit der Musterlösung.

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Super vielen Dank

Answer 2

[10, 5, 42] + r * [4, 2, -5] = [x, y, 0]

Wir berechnen, welcher Parameterwert den Schnittpunkt mit der Ebene z = 0 ergibt.

42 - 5·r = 0 --> r = 8.4

Nun berechnen wir den Schnitt- bzw. Schattenpunkt.

[10, 5, 42] + 8.4 * [4, 2, -5] = [43.6, 21.8, 0]

Warum geht die erste Variante nicht?

Auch deine Variante würde gehen.

[x, y, 0] + r * [4, 2, -5] = [10, 5, 42] --> x = 43.6 ∧ y = 21.8 ∧ r = -8.4

Comments

Dankeschön, es hat funktioniert