Schattenpunkt einer Pyramide

Question

Aufgabe:

:

10 Gegeben sind die Punkte \( O(0|0| 0), A(6|6| 0), B(3|9| 0), S(4|6| 8) \) und die Gerade \( g \) mit der Gleichung \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3,5 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 0\end{array}\right) ; t \in \mathbb{R} \).

a) Das Dreieck OAB ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit Spitze S. Zeichnen Sie die Pyramide in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks OAB.

b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

Zeigen Sie, dass die Spitze S auf der Geraden g liegt.

Begründen Sie folgende Aussage: Bewegt sich der Punkt \( S \) auf der Geraden g, so ăndert sich das Volumen der Pyramide nicht. Gibt es weitere Lagen der Pyramidenspitze, die das Volumen der Pyramide nicht verändern?

c) In Richtung des Vektors \( \left(\begin{array}{r}5 \\ -3 \\ -8\end{array}\right) \) fâlit parallel Licht ein. Dabei wirft die massive Pyramide einen Schatten auf die \( x_{1} x_{2} \) -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes \( \mathrm{S}^{**} \) der Pyramidenspitze. Zeichnen Sie den Schatten in das vorhandene Koordinatensystem ein. Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, damit der Schattenpunkt \( \mathrm{S}^{\text {** }} \) auf der \( \mathrm{x}_{1} \) -Achse liegt und das Schattendreieck \( \mathrm{OS}^{**} \mathrm{~A} \) rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei \( \mathrm{S}^{\text {** }} \) ist?

 :

Wie kann ich die Aufgabe "Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, ... ist?" lösen?

Answer 1

Hallo Anna,

Wie kann ich die Aufgabe "Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, ... ist?" lösen?

Indem Du zunächst versuchst, Dir die Szene zu zeichnen:

(klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren Eindruck.)

Die Seite \(S^{**}A\) des Schattendreiecks \(\triangle OS^{**}A\) bildet die Seite, die senkrecht auf der X-Achse stehen soll. Folglich muss die X-Koordinate des Punktes \(S^{**}\) identisch zur X-Koordinate des Punktes \(A\) sein. Also ist $$S^{**} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Die Richtung des Lichtes ist der Differenzvektor von \(S\) nach \(S^{**}\):$$\vec{SS^{**}} = \begin{pmatrix}2\\ -6\\ -8\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1\\ -3\\ -4\end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo,

ich bearbeite gerade dieselbe Aufgabe und komme mit der Berechnung der Innenwinkel nicht zurecht. In den Lösungen ist angegeben BAO= 90 grad; AOB= 26,6 grad und OBA= 63,4 grad. Könnte mir vielleicht jemand den ausführlichen Lösungsweg darstellen?

Liebe Grüße

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... und komme mit der Berechnung der Innenwinkel nicht zurecht.

Für die Innenwinkel des Dreiecks \(\triangle BAO\) berechne zunächst die beteiligten Vektoren:$$\vec{AO} = O-A =\begin{pmatrix}-6\\ -6\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{AB} = B-A = \begin{pmatrix}3\\ 3\\ -6\end{pmatrix} $$Für den Kosinus des Winkels \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gilt:$$\cos(\alpha) = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}$$also im Fall von \(\angle BAO = \alpha\):$$\cos(\alpha) = \frac{\begin{pmatrix}-6\\ -6\\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}}{\left|\vec{AO}\right| \cdot \left|\vec{AB}\right|}\\\phantom{\cos(\alpha)}=\frac{0 +18 - 18}{\left|\vec{AO}\right| \cdot \left|\vec{AB}\right|}=0 \\ \implies \alpha = 90°$$Für den Winkel \(\angle AOB = \gamma\) gilt dann$$\vec{OA} = A = \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{OB} = B = \begin{pmatrix}3\\ 9\\ 0\end{pmatrix} \\ \cos(\gamma) = \frac{\begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ 9\\ 0\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\ 9\\ 0\end{pmatrix}\right|}\\\phantom{\cos(\gamma)}=\frac{18+54+0}{\sqrt{6^2+6^2+0^2} \cdot\sqrt{3^2+9^2+0^2}} = \frac{72}{36\sqrt 5} = \frac 25\sqrt 5 \\\implies \gamma = \arccos\left(\frac 25\sqrt 5\right) \approx 26,57°$$und der dritte Winkel \(\angle OBA=\beta\) folgt aus der Winkelsumme im Dreieck:$$\beta \approx 180° - 90° - 26,57° = 63,43°$$

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Hat jemand eine vollständige Lösung der oben genannten Aufgabe c)?

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Hat jemand eine vollständige Lösung der oben genannten Aufgabe c)?

Die Lösung für den Aufgabenteil c) steht oben in der Antwort. Was genau fehlt Dir da?

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hallo könntest du bitte erklären wie man das volumen berechnet?

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könntest du bitte erklären wie man das volumen berechnet?

das ist der Aufgabenteil b)

Das Volumen \(V\) einer Pyramide berechnet sich aus$$V = \frac{1}{3} Gh$$wobei \(G\) die Grundfläche der Pyramide ist und \(h\) der Pyramidenspitze über eben dieser Grundfläche. Da die Grundfläche der Pyramide in der XY-Ebene liegt - (die Z-Koordinaten von \(O\), \(A\) und \(B\) sind 0) - ist \(h\) identisch der Z-Koordinate von \(S\) - also:$$S = \begin{pmatrix}4\\ 6\\ 8\end{pmatrix} \quad \implies h = z_S = 8$$Die Grundfläche \(G\) ist das Dreieck \(\triangle OAB\). Man kann sich zunutze machen, dass \(OA\) senkrecht auf \(AB\) steht. Daraus folgt unmittelbar$$G = \frac{1}{2} \,\underbrace{6\sqrt{2}}_{=|OA|} \cdot \underbrace{3\sqrt{2}}_{=|AB|} = 18$$(siehe auch die Geoknecht3D-Szene in meiner Antwort)

Falls Du das Kreuzprodukt von Vektoren kennst kannst Du \(G\) auch aus den beiden Vektoren berechnen, die das Dreieck aufspannen. Es gilt$$G = \frac{1}{2} \left|\vec{OA} \times \vec{AB}\right| \\ \phantom{G}= \frac{1}{2} \left|\begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}\right|\\\phantom{G} = \frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 36\end{pmatrix}\right| = 18$$Also ist das Volumen$$V = \frac{1}{3} Gh= \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 8 = 48$$ansonsten lese bitte auch die Antwort von Roland inklusive der angehängten Kommentare. Falls Du sonst noch Fragen hast, so melde Dich einfach.

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wie genau berechnet man die Koordinaten des Schattenpunktes S* und wo muss das licht einfallen damit der schattenpunkt S** auf der x achse liegt und das schattendreieck OS**A rechtwinklig mit einem rechten winkel bei S** ist?

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wie genau berechnet man die Koordinaten des Schattenpunktes S*

Der Schattenpunkt \(S^*\) ist die Spitze des Schattens, wenn die Pyramide aus der Richtung \(\vec d\) beleuchtet ist (s. Aufgabenstellung)$$\vec{d} = \begin{pmatrix}5\\ -3\\ -8\end{pmatrix}$$Stelle eine Geradengleichung auf mit Stützpunkt \(S\) und Richtungsvektor \(\vec d\). Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der XY-Ebene ist \(S^*\).

wo muss das licht einfallen damit der schattenpunkt S** auf der x achse liegt und das schattendreieck OS**A rechtwinklig mit einem rechten winkel bei S** ist?

das steht oben in meiner Antwort. Was genau ist Dir nicht klar?

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ich verstehe nicht wie man das berechnet könnten sie mir dies erklären?

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ich verstehe nicht wie man das berechnet

wie man WAS berechnet?

Kannst Du die Geradengleichung aufstellen?

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tut mir leid ich verstehe die aufgabe c einfach nicht und wie man sie löst

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tut mir leid ich verstehe die aufgabe c einfach nicht und wie man sie löst

Dann versuche bitte meine Rückfragen zu beantworten.

Da steht eine Pyramide und auf die Pyramide fällt Licht. Und dieses Licht sorgt für einen Schatten auf der Grundfläche, auf der die Pyramide steht. Die Richtung des LIchts ist überall gleich und gegeben (Vektor \(\vec d\) s.o.). Und da sich Licht stets gearde durch den Raum bewegt, kann man einen Lichtstrahl als Gerade im Raum darstellen.

Und genau dies tut man mathematisch mit Hilfe einer Geradengleichung in Parameterform. Kannst Du die Geradengleichung für den Lichtstrahl aufstellen, der die Spitze \(S\) berührt?

Falls ja: dann mache das bitte.

Falls nein: kennst Du die Parameterform für eine Geradengleichung?

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nein ich weiss nicht wie das geht

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nein ich weiss nicht wie das geht

heißt: Du kennst nicht die Parameterform der Geradengleichung!

Dann versuche ich es mal in 2D. Im Prinzip ist das dasselbe!

Dort habe ich den Punkt \(A\) mit den Koordinaten \(A=(3,2)\) eingezeichnet. Und weiter ein Vektor \(\vec d\), der in Richtung \(\vec d=(1,2)\) zeigt.

Kannst Du für die blaue Gerade die Geradengleichung angeben?

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leider nein tut mir leid

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Ok - kannst Du die Koordinaten der Spitze des roten Pfeils angeben?

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... aktualisiere bitte noch nochmal die Webseite. Im Bild oben war noch ein Fehler

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die rote spitze des Pfeils müsste doch bei (0,1,2)

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die rote spitze des Pfeils müsste doch bei (0,1,2)

das Bild oben soll nur eine 2-dimensionale Ebene beschreiben. D.h. es gibt immer genau zwei Koordinaten. (0,1,2) sind aber drei Koordinaten.

zähle die Kästchen auf dem Bild. Starte bei \(O=(0,0)\). Von dort sind es 4 Kästchen in X-Richtung (also nach rechts) und vier Kästchen in Y-Richtung (also nach oben). Folglich ist die Koordinate der Spitze (ich habe ihn grün markiert)$$\begin{pmatrix} 4 \\ 4\end{pmatrix}$$Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten$$A= \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$$wenn man von diesem Punkt zur Spitze des roten Vektors will, so legt man den Anfang des Vektors nach \(A\) (das ist schon der Fall) und addiert ihn zum Punkt \(A\) - also$$A + \vec d = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1 \\2+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4\end{pmatrix}$$Ich muss jetzt Schluß machen, es ist schon zu spät.

Beschäftige Dich bitte zunächst mal mit einem Koordinatensystem und wie dort Punkte an Hand ihrer Koordinaten eingezeichnet werden. Die Aufgabe oben ist für Dich zu schwer!

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Hey, wie genau kommt man auf die 2 -6 -8?

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wie genau kommt man auf die 2 -6 -8?

so wie es in der Antwort steht. Ich zitiere:

Die Seite \(S^{**}A\) des Schattendreiecks \(\triangle OS^{**}A\) bildet die Seite, die senkrecht auf der X-Achse stehen soll. Folglich muss die X-Koordinate des Punktes \(S^{**}\) identisch zur X-Koordinate des Punktes \(A\) sein. Also ist $$S^{**} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Die Richtung des Lichtes ist der Differenzvektor von \(S\) nach \(S^{**}\):

also $$S^{**}-S = \vec{SS^{**}} =\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}4\\ 6\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ -6\\ -8\end{pmatrix}$$zu was genau hast Du noch Fragen?

Answer 2

b) \( \begin{pmatrix} 3\\9\\0 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} 6\\6\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\-36 \end{pmatrix}. \) Dann ist die Grundfläche 18 und das Volumen 6·8=48.

Comments

wieso ist die grundfläche 18 und das voluem 48 können sie das bitte erklären

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Wenn die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) ein Dreieck aufspannen, dann ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks \(A=0,5 | \vec{a}\times \vec{b}| \).

In der Aufgabe war \(  \vec{a}\times \vec{b} \) ein Vektor mit dem Betrag 36.

Das Volumen einer Pyramide wird berechnet mit \(V= \frac{1}{3}A_G\cdot h \).

Hier ist \(A_G=18\) und h=8.

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okay vielen dank für die Antwort, aber woher kommen dann die 8?

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Die Punkte der Grundfläche liegen in der xy-Ebene, da ihre z-Koordinaten 0 sind.

Die Spitze S hat die z-Koordinate 8.

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vielen dank, ich habs verstanden, könntest du noch erklären wie man auf die 18 kommt?

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Noch einmal?

wieso ist die grundfläche 18 und das voluem 48 können sie das bitte erklären

Wenn die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) ein Dreieck aufspannen, dann ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks \(A=0,5 | \vec{a}\times \vec{b}| \).In der Aufgabe war \(  \vec{a}\times \vec{b} \) ein Vektor mit dem Betrag 36.

... und 0,5·36 ist 18.

Im Übrigen sollten vorher die Innenwinkel der Grundfläche berechnet werden. Dabei stellte es sich heraus, dass das Dreieck rechtwinklig ist (rechtert Winkel bei A).

Du hättest also einfach \(A=0,5 \cdot \overline{OA}\cdot \overline{AB}\) rechnen können.

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achso jetzt versteh ich es du bist der beste!