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Die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) für das gemeinsame Eintreten der Ereignisse \(A\) und \(B\) kannst du auf folgende zwei Arten modellieren.
1) Zuerst tritt das Ereignis \(A\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) ein. Anschließend tritt das Ereignis \(B\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\) ein, da \(A\) ja bereits eingetreten ist:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$
2) Zuerst tritt das Ereignis \(B\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) ein. Anschließend tritt das Ereignis \(A\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) ein, da \(B\) ja bereits eingetreten ist:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$
Da die beiden linken Seiten der Gleichungen gleich sind, müssen auch die beiden rechten Seiten gleich sein:$$P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)\quad\implies\quad P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}\cdot P(A|B)$$
Gemäß der Voruassetzung in der Aufgabenstellung ist nun:$$\pink{P(A|B)>P(A)}$$
Das setzen wir in die gerade gefundene Beziehung ein:$$P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}\cdot\pink{P(A|B)}\pink>\frac{P(B)}{P(A)}\cdot\pink{P(A)}=P(B)$$
Aus \(P(A|B)>P(A)\) folgt also tatsächlich: \(P(B|A)>P(B)\).
