Vorab: Die Antwort ist nur ein Versuch das Ergebnis von Desmos zu begründen
Es ist sehr ungewöhnlich die Funktionsvariable als Zählvariable für die Summe zu verwenden. Das würde ja voraussetzen, dass die Aussage nur für ganzzahlige \( x \) stimmen würde.
Man kann beidseitig das \( h \) kürzen, das \( \frac{1}{x} \) aus der Summe rausmultiplizieren und erhält \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \sum_{n=1}^{x} f(x + n \cdot \frac{h}{x}) \). Was passiert mit \( x + n \cdot \frac{h}{x} \), wenn \( x \rightarrow \infty \)?
Da \( n \cdot \frac{h}{x} \le h \) ist, also endlich und somit für \( x \rightarrow \infty \) gilt \( x + n \cdot \frac{h}{x} = x \), erhalten wir:
\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \sum_{n=1}^{x} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot x \cdot f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \).
Das soll kein Beweis sein, und man kann auch nicht beliebig die Grenzwerte an manche Stellen anwenden und an anderen lassen, so wie es hier getan wurde. Aber Desmos (und andere CAS) rechnen oft nicht exakt/symbolisch, sondern verwenden numerische Methoden um eine Lösung zu approximieren.
