Sei \(s_r(n)=\sum_{k=1}^{r}(\frac{-n}{n+k+1}+\frac{n}{n+k})\).
Offenbar handelt es sich für jedes \(n\) um eine Teleskopsumme
und man bekommt:
\(s_r(n)=\frac{n}{n+1}-\frac{n}{n+r+1}\).
Hieraus ergibt sich für jedes \(n\):
\( s(n) =\lim_{r\rightarrow \infty} s_r(n)=\frac{n}{n+1}\).
Damit ist \(\lim_{n\rightarrow \infty}s(n)=1\).
Nun zur zweiten Summe:
Für jedes \(k\) ist \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{(n+k)(n+k+1)}=0\).
Für den rechten Ausdruck ergibt sich daher \(\sum_{k=1}^{\infty} 0=0\).
