Aufgabe:
Berechnen Sie diesen Grenzwert:
$$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{x^3})$$
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht wie ich die den Grenzwert berechnen soll.
Ich hatte die Idee den Zähler des Bruchs in eine Summe umzuwandeln ($$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{\sum \limits_{n=0}^{x}n^2}{x^3})$$), komme damit aber auch nicht weiter.
Ich habe online ein Verfahren gefunden, das Integration zur Berechnung der Reihe benutzt. Allerdings habe ich das nicht im Unterricht nicht gesehen, weshalb ich es auch wahrscheinlich nicht für eine Hausaufgabe anwenden sollte.
Schonmal vielen Dank im Voraus!
edit: Ich habe gerade herausgefunden, dass $$\sum \limits_{n=0}^{x}n^2 = \frac{x*(x+1)*(2x+1)}{6}$$
Das bedeutet der Grenzwert ist $$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x*(x+1)*(2x+1)}{6x^3}) = \lim\limits_{x\to\infty}(\frac{2n^2+3n+1}{6x^2}) = \frac{1}{3}$$
