Grenzwert berechnen: a_{n} := √(n^2-1) - √(n^2 + n)

Question

Grenzwert berechnen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{n^{2}+n} \)

Ansatz:

Ich habe das mit dem √n² - 1  + √n²  + n erweitert, aber komme trotzdem nicht weiter.

Answer 1

√(n^2 - 1) - √(n^2 + n)

= (√(n^2 - 1) - √(n^2 + n)) * (√(n^2 - 1) + √(n^2 + n)) / (√(n^2 - 1) + √(n^2 + n))

= ((n^2 - 1) - (n^2 + n)) / (√(n^2 - 1) + √(n^2 + n))

= (-n - 1) / (n√(1 - 1/n^2) + n√(1 + 1/n))

= (-1 - 1/n) / (√(1 - 1/n^2) + √(1 + 1/n)) = -1/2

Answer 2

Hi,

eigentlich musst Du das nur noch weiterführen, nicht? ;)

$$\lim \sqrt{n^2-1} - \sqrt{n^2+n} = \lim \frac{ (n^2-1) - (n^2+n)}{ \sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2+n}} $$

$$= \lim \frac{ -1 - n}{ \sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2+n}} =  \lim \frac{ -1}{ \sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2+n}} -  \frac{ n}{ \sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2+n}}$$

Nun im Limes anschauen. Erster Summand entfällt zu 0, da Nennergrad > Zählergrad. Beim letzten Summanden schau Dir die Wurzeln an und vereinfache sie zu \(\sqrt{n^2} = n\). Du hast dann im Nenner 2n stehen, was sich mit dem Zähler kürzt.

Das heißt: -1/2

Alright?

Grüße

Comments

lim n -> ∞ [ √(n² - 1) + √(n² + n)  ]

schau Dir die Wurzeln an und vereinfache sie zu n^2

Für die 1.Wurzel ok.
Die 2. Wurzel heißt √(n² + n) .
Stimmt die Vereinfachung ?

---

Yup, auch da passt das. Niedere Grade sind irrelevant ;). Siehe dazu auch beim Mathecoach.