Bestimmung der Summe einer unendlichen Reihe ∑(1/(n(n+1)(n+2)))

Question

Man bestimme den Grenzwert der folgenden Reihe

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)

Mein Ansatz:

Es gilt: \( \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2(n+2)}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2 n} \)

\( \begin{aligned} \text { Es sei } F_{h} &=\sum \limits_{n=l}^{k} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \\ &=\sum \limits_{n=1}^{k} \frac{I}{2(n+2)}-\sum \limits_{n=1}^{k} \frac{I}{n+1}+\sum \limits_{n=1}^{k} \frac{1}{2 n} \end{aligned} \)

Jetzt müssten aus den Summen beziehungsweise Differenzen der einzelnen Reihen einfache Ausdrücke gewonnen werden, sodass man verwenden kann:

\( \sum \limits_{n=l}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=l}^{k} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=a \)

Leider finde ich keine Möglichkeit den Term \( F_{h} \) weiter umzuformen.

Comments

Das ist nun bestimmt keine Hilfe: Du darfst nicht so viele Summenzeichen schreiben. Da kommen ja harmonische Reihen raus und du rechnest unendlich minus unendlich....

Lass deine Summe vorerst mal folgendermassen stehen.

∑ (    …        - …        + …      )

möglicherweise heben sich die meisten Summanden wie bei einer Teleskopsumme gegenseitig auf.

Vielleicht helfen dir in dieser Richtung die folgenden Aufgaben: https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass deine PBZ richtig ist, die hab ich nicht nachgerechnet.

Indexverschiebung und Teleskopsummen helfen hier:

$$ \begin{aligned} F_k &=\frac{1}{2}(\sum_{n=3}^{k+2} \frac{1}{n} +\sum_{n=1}^k \frac{1}{n} ) -\sum_{n=2}^{k+1} \frac{1}{n} \\ &=\frac{1}{2}(2\sum_{n=3}^{k} \frac{1}{n} +1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{k+1} +\frac{1}{k+2})-\sum_{n=2}^{k+1} \frac{1}{n} \newline &=\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1} \\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{2(k+2)}-\frac{1}{2(k+1)} \end{aligned} $$