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$$\space \text{Bestimme den Wert der unendlichen komplexen Reihe: } \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{2+(-1)^n}{4}*i\bigg)^n$$

Könnte mir jemand helfen wie ich hier rangehen muss?

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Ich weiß nicht, ob sie zum Ziel führt aber: Ich würde versuchen hier die Geometrische Reihe anzuwenden und zwar folgendermaßen: Spalte die Reihe auf in zwei Reihen mit jeweils n ungerade und n gerade, damit du das machen kannst, musst du zeigen, dass die beiden Reihen absolut konvergieren. Dies kannst du aber einfach zeigen, indem du anschließend auf die beiden Reihen separat die geometrische Reihe anwendest (Achtung Voraussetzung prüfen!). Somit kannst du dann den Grenzwert bestimmen.


Liebe Grüße

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\(  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{2+(-1)^n}{4}\cdot i\bigg)^n\)

mit der Idee von  VzQXI klappt es:

Für gerades n hast du die Reihe

\(  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{2+(-1)^{2n}}{4}\cdot i\bigg)^{2n} =  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{3}{4}\cdot i\bigg)^{2n}  =  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg((\frac{3}{4}\cdot i)^2\bigg)^{n} =  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{-9}{16}\bigg)^{n} \)

Wegen \( |\frac{-9}{16}| < 1  \) konvergiert diese Reihe gegen \( \frac{1}{1-\frac{-9}{16}} =\frac{16}{25}\).

Und für die ungeraden:

\(  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{2+(-1)^{2n}}{4}\cdot i\bigg)^{2n+1} =  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{4}\cdot i\bigg)^{2n+1}  = \frac{1}{4}\cdot i \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg((\frac{1}{4}\cdot i)^2\bigg)^{n}\)

\(= \frac{1}{4}\cdot i \sum \limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{-1}{16}\bigg)^{n} = \frac{1}{4}\cdot i \cdot \frac{1}{1-\frac{-1}{16}} = \frac{1}{4}\cdot i \cdot \frac{16}{17} = \frac{4}{17}   \cdot i \)

Da beide Reihen konvergieren, tuts auch die Summe und geht gegen

\( \frac{16}{25} + \frac{4}{17}  \cdot i \).

Avatar von 289 k 🚀

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