Ist die Reihe arithmetisch oder geometrisch? ∑ (4-k/2 - 5/6*(-1/5)k+1)

Question

$$\sum _ { k = - 2 } ^ { \infty } \left[ 4 ^ { - \frac { k } { 2 } } - \frac { 5 } { 6 } \left( - \frac { 1 } { 5 } \right) ^ { k + 1 } \right]$$

Ich weiß nicht mal, mit welcher Summenformel ich anfangen soll, da ich nicht zuordnen kann, ob die Reihe arithmetisch, geometrisch oder alternierend ist.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Comments

Lösungsansatz:

$$\begin {aligned} \sum_{k=-2} ^\infty [ 4^{\frac{-k}{2}} -\frac{5}{6}(-\frac{1}{5}^{k+1}) ] &=\sum_{k=-2} ^\infty [ (\frac{1}{2}) ^k +\frac{1}{6}(-\frac{1}{5})^{k}) ] \newline &= \sum_{k=-2} ^\infty [(\frac{1}{2})^k +\frac{1}{6}\sum_{k=-2} ^\infty(-\frac{1}{5}^{k}) \end{aligned}$$

Answer 1

Die Aufteilung kann folgendermassen aussehen:

∑ (4^-k/2 -  ∑ 5/6*(-1/5)^k+1)

= ∑ 2^-k -  ∑ (5/6*(-1/5)^k+1)

= ∑ 2^-k -   5/6 *∑(-1/5)^k+1

Nun hast du 2 konvergente geometrische Reihen. 

Bei der Ersten ist q=1/2 und bei der Zweiten (-1/5)

Ergänze wieder von wo bis wo summiert wird. So kommst du zu den Anfahngswerten.

Zuerst a1= 2^-(-2) ) 2² = 4 und bei der zweiten Reihe a1= (-1/5) ^-2+1 = (-1/5)^-1 = -5

s = a1*1/(1-q) 

s1 = 4*1/(1-0.5)  = 8

s2 = -5 *1/(1 + 1/5) = -5 / (6/5) = -5*5/6

∑ (4^-k/2 -  ∑ 5/6*(-1/5)^k+1) = 8 - 5/6* (-5)*5/6 = 8 + 125/6 = 28 + 5/6 = 28.83333

Achtung: Noch nachrechnen! Du kennst ja jetzt die richtigen Formeln ;)

Comments

Ich komme beim q für die erste Summe auf q=2.

Wegen q= an+1/an muss ich doch 2^{-1}/2^{-2} = 2 rechnen, dachte ich und nicht umgekehrt..

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Danke für die Rückmeldung!

2^{–k} = (1/2)^k

Daher ist q = 1/2

Oder:

2^ (–(n+1)) / (2^{–n}) = 2^ (–(n+1) – (–n)) = 2^{–1} = 1/2