Ist die Reihe arithmetisch oder geometrisch? ∑ (4^{-k/2} - 5/6*(-1/5)^{k+1})

Question

$$ \sum _ { k = - 2 } ^ { \infty } \left[ 4 ^ { - \frac { k } { 2 } } - \frac { 5 } { 6 } \left( - \frac { 1 } { 5 } \right) ^ { k + 1 } \right] $$

Ich weiß nicht mal, mit welcher Summenformel ich anfangen soll, da ich nicht zuordnen kann, ob die Reihe arithmetisch, geometrisch oder alternierend ist.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

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Lösungsansatz:

$$ \begin {aligned} \sum_{k=-2} ^\infty [ 4^{\frac{-k}{2}} -\frac{5}{6}(-\frac{1}{5}^{k+1}) ] &=\sum_{k=-2} ^\infty [ (\frac{1}{2}) ^k +\frac{1}{6}(-\frac{1}{5})^{k}) ] \newline &= \sum_{k=-2} ^\infty [(\frac{1}{2})^k +\frac{1}{6}\sum_{k=-2} ^\infty(-\frac{1}{5}^{k}) \end{aligned}$$

Answer 1

Die Aufteilung kann folgendermassen aussehen:

∑ (4^{-k/2} -  ∑ 5/6*(-1/5)^{k+1})

= ∑ 2^{-k} -  ∑ (5/6*(-1/5)^{k+1})

= ∑ 2^{-k} -   5/6 *∑(-1/5)^{k+1}

Nun hast du 2 konvergente geometrische Reihen. 

Bei der Ersten ist q=1/2 und bei der Zweiten (-1/5)

Ergänze wieder von wo bis wo summiert wird. So kommst du zu den Anfahngswerten.

Zuerst a1= 2^{-(-2)} ) 2^2 = 4 und bei der zweiten Reihe a1= (-1/5) ^{-2+1} = (-1/5)^{-1} = -5

s = a1*1/(1-q) 

s1 = 4*1/(1-0.5)  = 8

s2 = -5 *1/(1 + 1/5) = -5 / (6/5) = -5*5/6

∑ (4^{-k/2} -  ∑ 5/6*(-1/5)^{k+1}) = 8 - 5/6* (-5)*5/6 = 8 + 125/6 = 28 + 5/6 = 28.83333

Achtung: Noch nachrechnen! Du kennst ja jetzt die richtigen Formeln ;)

Comments

Ich komme beim q für die erste Summe auf q=2.

Wegen q= an+1/an muss ich doch 2^{-1}/2^{-2} = 2 rechnen, dachte ich und nicht umgekehrt..

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Danke für die Rückmeldung!

2^{–k} = (1/2)^k

Daher ist q = 1/2

Oder:

2^ (–(n+1)) / (2^{–n}) = 2^ (–(n+1) – (–n)) = 2^{–1} = 1/2