Grenzen des Horner-Schemas

Question

Was sind die Grenzen des Horner-Schemas? Bei welchen Funktionen kann ich das Horner-Schema nicht mehr anwenden und warum?

(Meine Vermutung wäre, dass gebrochenrationale Funktionen nicht mit dem Schema berechnet werden können. Dies verstehe ich allerdings nicht, da man ja eine Polynomdivision mit Rest durchführen kann.)

Comments

Was meinst du mit "Grenzen"?. Das Horner-Schema ist eine Darstellungsart eines Polynoms. Nicht mehr, nicht weniger.

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Anwendungen des Horner Schemas:

Einfaches Horner-Schema:
Funktionswertberechnung
Linearfaktorabspaltung
Polynomdivision

Erweitertes Horner-Schema:
Ableitungen an einem beliebigen Punkt
Entwickelung eines Polynoms um einen beliebigen Punkt

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Was meinst du mit "Grenzen"?

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Bei welchen Funktionen/Aufgabentypen ich das Horner-Schema nicht mehr anwenden kann bzw. falsche Werte heraus kommen.

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Wie gesagt, es ist nur für Polynome (eventuell ganzrationale Funktionen genannt) definiert. Wenn man die Fragestellung als eine über Polynome übersetzen kann, kann man das Horner-Schema anwenden. Sonst nicht.

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und was bedeutet das konkret?

kann ich das Schema für gebrochenrationale Funktionen nicht anwenden? Wofür noch?

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Man sagt aus gutem Grund immer nur die Fälle wo etwas funktioniert, nicht die, bei denen es nicht funktioniert: Letzteres wäre eine endlose Liste. Man kann das gebrochenrationale Funktionen nicht in eine Dartsellung mittels Horner Schema bringen. Für bestimmte Fragestellungen über gebrochenrationale Fkt. ist es aber durchaus möglich dort das Horner-Schema zu verwenden.

Answer 1

Das Horner Schema wird benutzt 1. Um Funktionswerte bei Polynomen zu errechnen. Das funktioniert eigentlich immer.

Das Horner Schema wird auch verwendet um eine Polynomdivision durch einen Linearfaktor durchzuführen.

Gibt es allerdings keine rationale Nullstelle wird das Horner Schema hier schon sehr schwer.

x^3 + x + 1 = 0

Bei obiger Gleichung hat man also schon keine Möglichkeit das Horner Schema anzuwenden, auch wenn die Funktion recht einfach aussieht.

Comments

Gibt es allerdings keine rationale Nullstelle wird das Horner Schema hier schon sehr schwer.

Kann man eigentlich an einer Funktion sehen das sie eine rationale Nullstelle hat? Bzw. Gibt es da ein "Trick " wie man so was berechnen kann, wenn das Horner Schema nutzen will?

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Es gibt den Satz über rationale Nullstellen

Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass der Zähler ihrer gekürzten Darstellung das Absolutglied und der Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen