Beschränktheit bezüglich äquivalenter Normen

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein Vektorraum mit zwei äquivalenten Normen \( \|\cdot\|_{A} \) und \( \|\cdot\|_{B} \). Zeigen Sie für alle \( Y \subseteq V \) :
(a) Ist \( Y \) bezüglich \( \|\cdot\|_{A} \) beschränkt, dann auch bezüglich \( \|\cdot\|_{B} \).

Diese Aufgabe hat vier Teilaufgaben die jeweils gleich aufgebaut sind. Es geht um Beschränktheit, Abgeschlossenheit, Offenheit und Kompaktheit. Leider weiß ich nicht wirklich, wie man da rangehen soll, denke aber dass das Vorgehen wahrscheinlich für Teilaufgaben ähnlich ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, im Skript erstmal nach einer Definition für Beschränktheit von einem Vektorraum zu suchen, finde aber nichts. Ist "total beschränkt" das Gleiche?

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. LG :)

Answer 1

Such nach den richtigen Begriffen, es geht hier nicht um einen "beschränkten Vektorraum" (Bonusaufgabe: Warum gibt es sowas nicht?), sondern um eine beschränkte Menge \(Y\), es gilt also (such in Deinen Unterlagen vom 1. Sem.): Es gibt ein \(S\ge 0\) mit: für alle \(y\in Y\) gilt: \(\|y\|\le S\), wobei die Norm zu verwenden ist, um die es geht.

Schreib Dir die Def. der Normäquivalenz raus, damit sollte a) (mit der obigen Def. der Beschränktheit) nicht schwer sein.