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Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren a= (1/c/2) und b ( c+4 /-1/2)

a.)Begründen Sie, dass a und b nicht kollinear sind

b) Berechnen Sie den Wert von c so, dass |a| = |b| gilt


bitte helfen

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zur a.) also damit zwei vektoren kollinear sind, dann lässt sich der eine Vektor jeweils als ein skalares Vielfache des anderen darstellen.

Heißt also, dass bei bei b für die x-Koordinate der wert c= -2 sein müsste, damit 2 rauskommt und bei a ist die x koordinate ja 1, deswegen wäre die 2 dann das skalare vielfache von der 1

und bei der y koordinate von a müsste c = -0,5 sein damit sie kollinear wären, oder?

und was sagt das mir jtz aus, dass sie diese vektoren nicht kollinear sind?

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Aloha :)

Wir betrachten die beiden Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\c\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}c+4\\-1\\2\end{pmatrix}\)

zu a) Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn sie bis auf einen Skalierungsfaktor \(s\) übereinstimmen. Wir schauen, was aus dieser Forderung resultiert:$$\vec a=s\cdot\vec b\implies\begin{pmatrix}1\\c\\2\end{pmatrix}=s\cdot\begin{pmatrix}c+4\\-1\\2\end{pmatrix}$$Die dritte Komponente ist in jedem der beiden Vektoren \(2\), also muss der Skalierungsfaktor \(s=1\) sein:$$\begin{pmatrix}1\\c\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c+4\\-1\\2\end{pmatrix}$$Aus der zweiten Komponente lesen wir nun ab, dass \(c=-1\) sein muss:$$\begin{pmatrix}1\\\pink{-1}\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{-1}+4\\-1\\2\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\text{ Widerspruch }1\ne3$$

Wir erhalten einen Widersprich in der ersten Koordinate.

Die beiden Vektoren sind also nicht kollinear.

zu b) Wir sollen \(c\) so bestimmen, dass die beiden Vektoren gleich lang sind:$$\left\|\vec a\right\|=\|\vec b\|\implies\left\|\vec a\right\|^2=\|\vec b\|^2\implies\left\|\begin{pmatrix}1\\c\\2\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}c+4\\-1\\2\end{pmatrix}\right\|^2\implies$$$$1^2+c^2+2^2=(c+4)^2+(-1)^2+2^2\implies c^2+5=(c^2+8c+16)+5\implies$$$$0=8c+16\implies c=-2$$Für \(c=-2\) haben beide Vektoren die gleiche Länge.

Avatar von 152 k 🚀
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a) Betrachte mal die dritte Koordinate. Welchen Wert müsste \(c\) folglich haben, damit die Vektoren kollinear sein können?

b) Wende die Längenformel an und setze diese gleich. Man kann auf die Wurzel verzichten, indem man die Gleichung dann quadriert.

Einfache Alternative: Haben die Komponenten zweier Vektoren paarweise die gleichen Beträge, dann sind die Vektoren gleichlang. Dabei müssen die Komponenten auch nicht an gleicher "Stelle" sein. Damit kann man ebenfalls eine sehr einfache Gleichung für \(c\) aufstellen bzw. \(c\) sogar im Kopf berechnen. Beispiel: \((1, 2, -3)\) und \((-2, 3, -1)\) sind gleichlang.

Avatar von 18 k

da 2=2 ist, müsste  s= 1 sein

also müsste c bei der y koordinate = -1 sein und c bei der x koordinate -3 sein

was sagt mir das jtz aus?

Die Werte sind unterschiedlich, also können die Vektoren nicht kollinear sein.

achso, also weil zb c nicht dasselbe ist wie -1 ?

Damit die Vektoren kollinear sind, müsste c=-1 sein. Dann passt das aber mit der x-Koordinate ja nicht. ;)

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