Aufgabe:
Bestimmen sie die Standardform und die duale Form des linearen Problems.
$$ \text{max} \quad c^\intercal x + d^\intercal y \newline \text{unter} \quad Ax + By \geq b \newline \qquad y \geq 0 $$
Definition Standardform:
$$ \text{max} \quad c^\intercal x \newline \text{unter} \quad Ax= b \newline \qquad x \geq 0 $$
Definion duales Programm der Standardform:
$$ \text{min} \quad y^\intercal b \newline \text{unter} \quad y^\intercal A \geq b $$
Problem/Ansatz:
Ich habe erstmal x aufgespaltet mit:
$$\text{max} \quad c^\intercal x^+-c^\intercal x^- + d^\intercal y \newline \text{unter} \quad Ax^+-Ax^- + By \geq b \newline \qquad x,y \geq 0 $$
Und dann mit -1 multipliziert und eine Schlupfvariable hinzugefügt:
$$\text{max} \quad c^\intercal x^+-c^\intercal x^- + d^\intercal y \newline \text{unter} \quad -Ax^- + Ax^- - By + z = b \newline \qquad x,y,z \geq 0 $$
Meine Idee wäre dann: $$\text{max} \quad (c^\intercal, c^\intercal, d^\intercal) \begin{pmatrix}x^+ \\x^- \\y \end{pmatrix} \newline \text{unter} \quad (A,-A,B)\begin{pmatrix}x^+ \\x^- \\y \end{pmatrix} = b \newline \qquad x,y,z \geq 0$$
Ich bin mir bis hier nicht wirklich sicher und ich verstehe leider nicht wie man von hier zum dualen Programm kommt.
