Okay ich wähle r = r1 + r2,
Das funktioniert nicht.
Du musst ja zu jedem \((y_1,y_2)\in Y_1 \times Y_2\) ein passendes \(r > 0\) so wählen, dass \(B_{r}((y_1,y_2))\subseteq Y_1\times Y_2\) ist.
Wenn du \(r\) mit der Strategie wählst, dass du \(r_1,r_2>0\) mit \(B_{r_1}(y_1) \subseteq Y_1 \) und \( B_{r_2}(y_2) \subseteq Y_2 \) wählst und dann einfach \(r = r_1+r_2\) setzt, dann kann es passieren, dass \(B_{r}((y_1,y_2))\not\subseteq Y_1\times Y_2\) ist.
Beispiel. Seien \(M_1 = M_2 = \mathbb{R}\) mit dem euklidischen Abstand als Metrik.
Ferner seien
\(\begin{aligned}Y_1 &= Y_2 = (-1,1)\text{,}\\y_1&=0\text{,}\\y_2 &= \frac{1}{2}\text{.}\end{aligned}\).
Dann ist
\(\displaystyle B_{\frac{3}{4}}(y_1) \subseteq Y_1\) und \(\displaystyle B_{\frac{1}{4}}(y_2) \subseteq Y_2\),
aber
\(\displaystyle B_{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}((y_1,y_2)) = B_1((y_1,y_2))\not\subseteq Y_1\times Y_2\)
weil zwar
\(\begin{aligned}&d\left((y_1,y_2), \left(0,\frac{5}{4}\right)\right)\\ =\,& d_1(0,y_1)+d_2\left(\frac{5}{4}, y_2\right)\\ =\,& \left|0-y_1\right| + \left|\frac{5}{4} - y_2\right|\\ =\,&\frac{3}{4}\\ <\,&1\end{aligned}\)
und somit
\(\displaystyle \left(0,\frac{5}{4}\right) \in B_1((y_1,y_2))\)
ist, aber
\(\displaystyle \left(0,\frac{5}{4}\right)\notin Y_1\times Y_2\)
wegen \(\frac{5}{4}\notin Y_2\) ist.
