Limes Bild x gegen 0 gegen -unendlich

Question

Aufgabe:

Gegeben: (e^x-3)/(x²) das ist ein bruch

Gesucht: Lim x->-∞ von f(x) sowie lim x->0 von f(x). Dazu Bild(f).

Problem/Ansatz: ich brauche großzügige Hilfe zwinker..

Answer 1

\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} =0\)

\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x-3}}{x^2} →∞\)

Comments

Korrigierst du deinen Unfug selbst?

Ach so: Nachgereichte "Herleitung" in Form von zwei Bildchen...

Auch wenn die Ergebnisse stimmen mögen...

\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} \)  ist sehr irreführend.

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Danke für die Antwort. Was ist denn das Bild(f)? Ist es bei deiner Antwort bei?

Kannst du die zweite Zeile erklären? Wie kann ich die Divergenz begründen? Ich bin bei x gegen 0 noch ungeübt

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\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} \)

Kann man einfach das Vorzeichen beim limes ändern und der Grenzwert vom Kehrwert gilt dann für voriges?

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Nö, kann man nicht.

Korrigierst du deinen Unfug selbst?

Answer 2

Bei \( \lim\limits_{x\to0} \frac{e^{x-3}}{x^2}\) sollte die Sache klar sein. Der Zähler geht gegen \( e^{x-3}\) und ist somit gegen eine konkrete positive Zahl. Der Nenner geht gegen 0.

Also geht der Bruch gegen +∞ oder gegen -∞.

Da der Nenner aber auch für jedes x≠0 positiv ist, bleibt der gesamte Bruch positiv, und das Ergebnis ist +∞.

Wenn ihr das schon hattet, kannst du für den anderen Grenzwert L'Hospital verwenden.

Ansonsten kann man den unsauberen Versuch von Moliets wie folgt korrigieren:

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \frac{e^{x-3}}{x^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{x-3}}{x^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{-(-x)-3}}{(-x)^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{-(-x+3)}}{(-x)^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{1}{(-x)^2e^{(-x+3)}}\).

Answer 3

Um die Bild- bzw. Wertemenge zu bestimmen, kann man die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereiches und die Extrempunkte bestimmen.

f(x) = e^(x - 3)/x^2

Da Zähler und Nenner des Bruches e^(x - 3)/x^2 im Definitionsbereich immer positiv sind, ist auch der Wert des Bruches immer positiv.

lim (x → -∞) f(x) = 0^{+}

lim (x → 0) f(x) = ∞ (bräuchte man hier nicht, weil auch der Grenzwert für x gegen unendlich, gegen unendlich geht)

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Damit hat die Funktion eine größte untere Schranke bei 0 und die Funktion ist nach oben unbeschränkt. Damit liegen die Funktionswerte im Intervall (0 ; ∞).

Bild(f) = ]0 ; ∞[ = (0 ; ∞)

Answer 4

mit L'Hospital (zweimal angewendet):

-e^(-x-3)//2x)  -> e^(-x-3)/2 

Der Zähler geht gg. oo -> lim = oo für x-> -oo