limes n gegen unendlich per hand berechnen

Question

Aufgabe:

lim n--> unendlich ((5n^3 / 1+n^2+4*n^3) + (n^5 / 6+n^4-n^5))

Problem/Ansatz:

Hallo ich muss bei der folgenden aufgabe n gegen unendlich per hand ausrechnen und habe mit dem Vorgehen Probleme.

Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte, wie genau man das einfach berechnen kann

Answer 1

Betrachte mal zB so einen Ausdruck:

$$a_n=\frac{3n^2+2}{1+n+n^2}$$

Klammere nun jeweils im Zähler und Nenner die dominante Potenz aus:

$$a_n=\frac{3n^2+2}{1+n+n^2}=\frac{n^2(3+\frac{2}{n^2})}{n^2(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1)}=\frac{3+\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}$$

Auf diesen umschriebenen Ausdruck lasse ich jetzt den Limes los:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}=\frac{3+0}{0+0+1}=3$$

Und vom Prinzip kannst du genauso in deiner Aufgabe vorgehen.