Sei V ein K-Vektorraum.Für zwei Mengen U,W ...

Question

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Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum. Für zwei Mengen \( U, W \subseteq V \) definieren wir
\( \begin{array}{l} U+W=\{\vec{u}+\vec{w} \mid \vec{u} \in U \wedge \vec{w} \in W\}, \\ U \cap W=\{\vec{v} \in V \mid \vec{v} \in U \wedge \vec{v} \in W\} . \end{array} \)
a) Veranschauliche \( U+W \) und \( U \cap W \) anhand von beispielhaften Untervektorräumen im \( \mathbb{R}^{3} \).
b) Beweise mit dem Unterraumkriterium: Wenn \( U \) und \( W \) Unterräume von \( V \) sind, dann ist \( U+W \) ein Unterraum von \( V \).

Ist mein Ansatz bei der Aufgabe b richtig?

1. Da U und W Untervektorräume sind, enthält jeder von ihnen mindestens den Nullvektor 0 -> 0+0=0∈U+W

2.Nehmen wir an, u+w und u'+w' sind beliebige Elemente von U+W, wobei u,u' ∈U und w,w'∈W. Also muss man zeigen, dass (u+w)+(u'+w') auch in U+W liegt. (u+w)+(u'+w')=(u+u')+(w+w')

Answer 1

Ja, der Ansatz sieht doch schon sehr gut aus. :)

Comments

Danke! wie sollte ich jetzt weiter machen?

Answer 2

Sei v+w ∈ V + W, dann ist r(v+w) = rv + rw, rv ∈ V, rw ∈ W, also r(v+w) ∈ V + W.

Beispiel: V = L(e₁,e₂), W = L(e₁,e₃)