Beweise mit dem Unterraumkriterium

Question

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Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} \) eine linear unabhängige Menge von Vektoren über \( V \). Überprüfe, ob \( \{\vec{u}-\vec{v}, \vec{v}-\vec{w}, \vec{w}+\vec{u}\} \) stets linear unabhängig ist.
Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum. Beweise mit dem Unterraumkriterium: Wenn \( U \) und \( W \) Unterräume von \( V \) sind, dann ist \( U \cap W \) ein Unterraum von \( V \).

Komme bei den beiden Aufgaben gar nicht weiter. Habe weder einen Ansatz noch irgendwelche Lösungsvorschläge dazu.

Answer 1

Seien \(x,y,z\in\mathbb K\) mit \(x\cdot(\vec u-\vec v)+y\cdot(\vec v-\vec w)+z\cdot(\vec w+\vec u)=0\). Ausmultiplizieren
und Umsortieren liefert \((x+z)\cdot\vec u+(-x+y)\cdot\vec v+(-y+z)\cdot\vec w=0\).
Da lt. Voraussetzung \(\lbrace\vec u,\vec v,\vec w\rbrace\) linear unabhängig ist, ist die letzte Gleichung
nur für \(x+z=-x+y=-y+z=0\) erfüllt, woraus \(x=y=z=0\) folgt.
Damit ist auch \(\lbrace\vec u-\vec v,\vec v-\vec w,\vec w+\vec u\rbrace\) linear unabhängig.