Beweise mit dem Unterraumkriterium

Question

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Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum und $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ eine linear unabhängige Menge von Vektoren über $V$. Überprüfe, ob $\{\vec{u}-\vec{v}, \vec{v}-\vec{w}, \vec{w}+\vec{u}\}$ stets linear unabhängig ist.
Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. Beweise mit dem Unterraumkriterium: Wenn $U$ und $W$ Unterräume von $V$ sind, dann ist $U \cap W$ ein Unterraum von $V$.

Komme bei den beiden Aufgaben gar nicht weiter. Habe weder einen Ansatz noch irgendwelche Lösungsvorschläge dazu.

Answer 1

Seien $x,y,z\in\mathbb K$ mit $x\cdot(\vec u-\vec v)+y\cdot(\vec v-\vec w)+z\cdot(\vec w+\vec u)=0$. Ausmultiplizieren
und Umsortieren liefert $(x+z)\cdot\vec u+(-x+y)\cdot\vec v+(-y+z)\cdot\vec w=0$.
Da lt. Voraussetzung $\lbrace\vec u,\vec v,\vec w\rbrace$ linear unabhängig ist, ist die letzte Gleichung
nur für $x+z=-x+y=-y+z=0$ erfüllt, woraus $x=y=z=0$ folgt.
Damit ist auch $\lbrace\vec u-\vec v,\vec v-\vec w,\vec w+\vec u\rbrace$ linear unabhängig.