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Sei V V ein K \mathbb{K} -Vektorraum und {u,v,w} \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} eine linear unabhängige Menge von Vektoren über V V . Überprüfe, ob {uv,vw,w+u} \{\vec{u}-\vec{v}, \vec{v}-\vec{w}, \vec{w}+\vec{u}\} stets linear unabhängig ist.
Sei V V ein K \mathbb{K} -Vektorraum. Beweise mit dem Unterraumkriterium: Wenn U U und W W Unterräume von V V sind, dann ist UW U \cap W ein Unterraum von V V .

Komme bei den beiden Aufgaben gar nicht weiter. Habe weder einen Ansatz noch irgendwelche Lösungsvorschläge dazu.

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Seien x,y,zKx,y,z\in\mathbb K mit x(uv)+y(vw)+z(w+u)=0x\cdot(\vec u-\vec v)+y\cdot(\vec v-\vec w)+z\cdot(\vec w+\vec u)=0. Ausmultiplizieren
und Umsortieren liefert (x+z)u+(x+y)v+(y+z)w=0(x+z)\cdot\vec u+(-x+y)\cdot\vec v+(-y+z)\cdot\vec w=0.
Da lt. Voraussetzung {u,v,w}\lbrace\vec u,\vec v,\vec w\rbrace linear unabhängig ist, ist die letzte Gleichung
nur für x+z=x+y=y+z=0x+z=-x+y=-y+z=0 erfüllt, woraus x=y=z=0x=y=z=0 folgt.
Damit ist auch {uv,vw,w+u}\lbrace\vec u-\vec v,\vec v-\vec w,\vec w+\vec u\rbrace linear unabhängig.

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