Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich würde zunächst eine "nahrhafte Eins" als Faktor einführen:$$F(x)=\int\sqrt{-x^2+4x}\,dx=\int\underbrace{\pink1}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{-x^2+4x}}_{=v}\,dx$$
Dann 1-mal partiell integrieren:$$F(x)=\underbrace{\pink{\left(x+c\right)}}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{-x^2+4x}}_{=v}-\int\underbrace{\pink{\left(x+c\right)}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{2\cdot\sqrt{-x^2+4x}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\left(-2x+4\right)}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}\,dx$$
Als Integrationskonstante bietet sich die Wahl \((c=-2)\) an, denn dann ist:$$F(x)=(x-2)\sqrt{-x^2+4x}-\int\frac{(x-2)(-x+2)}{\sqrt{-x^4+4x}}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(x-2)\sqrt{-x^2+4x}-\int\frac{-x^2+4x-4}{\sqrt{-x^4+4x}}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(x-2)\sqrt{-x^2+4x}-\int\frac{-x^2+4x}{\sqrt{-x^4+4x}}\,dx+\int\frac{4}{\sqrt{-x^4+4x}}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(x-2)\sqrt{-x^2+4x}-\underbrace{\int\sqrt{-x^2+4x}\,dx}_{=F(x)}+\int\frac{4}{\sqrt{\pink{4}-(x^4-4x+\pink4)}}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(x-2)\sqrt{-x^2+4x}-F(x)+\int\frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}}\,dx$$
Wir bringen das \(F(x)\) von der rechten auf die linke Seite und dividieren durch \(2\):$$F(x)=\frac{x-2}{2}\sqrt{-x^2+4x}+\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}}\,dx$$
Die Substitution \(\blue{u\coloneqq\frac{x-2}{2}}\) mit \(\blue{\frac{du}{dx}=\frac12}\) führt auf ein Standardintegral:$$\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\underbrace{2\,du}_{=dx}=2\arcsin(u)+C=2\arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)+C$$
Schließlich erhalten wir als Ergebnis:$$F(x)=\frac{x-2}{2}\sqrt{-x^2+4x}+2\arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)+C$$
