Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Es ist gut, dass du das nicht verstehst, denn es ist völliger Quatsch.
Das Integral bestimmst du mittels doppelter partieller Integration.
Im ersten Schritt hast du:$$I=\int \underbrace{e^x}_{=u'}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v}\,dx=\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v}-\int \underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{(-\sin x)}_{=v'}\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx$$
Im zweiten Schritt hast du:$$I=e^x\cos x+\int\underbrace{e^x}_{f'}\cdot\underbrace{\sin x}_{g}\,dx=e^x\cos x+\underbrace{e^x}_{f}\cdot\underbrace{\sin x}_{g}-\int\underbrace{e^x}_{f}\cdot\underbrace{\cos x}_{g'}\,dx$$
Das sieht auf den ersten Blick doof aus, aber das verbliebene Integral rechts ist wieder unser Ausgangsintegral \(I\). Daher gilt:$$I=e^x\cos x+e^x\sin x-I\implies 2I=e^x(\cos x+\sin x)\implies$$$$\pink{I=\frac{e^x}{2}(\cos x+\sin x)}$$
Die Integrationskonstante habe ich mir gespart ;)
