Integration: Problem bei Bildung der Stammfunktion für e-Funktion

Question

Meine Übungsleiterin hat im Rahmen einer Aufgabe folgenden Schritt vollzogen, den ich nicht verstehe:

\( \int \limits_{t}^{T} e^{-2 K(T-s)} d s=\left[e^{-2 K T} e^{K s} \frac{1}{2 K}\right]_{t}^{T} \)

Wenn ich versuche die Stammfunktion der e-Funktion zu bilden, bekomme ich aber ein anderes Ergebnis... Kann mir jemand sagen wie meine Übungsleiterin auf diese Gleichung kommt?

Answer 1

Du kannst den Exponenten ausmultiplizieren

∫ e^{2·K·s - 2·K·t} ds

Jetzt auf zwei e-Terme aufteilen a^b * a^c = a^{b + c}

∫ e^{2·K·s} · e^{-2·K·t} ds

Nur der erste Faktor hängt vom s ab und wird integriert. Der andere Faktor ist konstant und bleibt bestehen.

e^{2·K·s} · 1/(2·K) · e^{-2·K·t}

= e^{-2·K·t} · e^{2·K·s} · 1/(2·K)

Das ist die Stammfunktion die auch oben steht.

Answer 2

Hier wurde integriert (nach s). Deshalb kommt bei der Integration die Ableitung des Zählers in den Nenner:

u(s) = -2K(T-s) = -KT+2Ks

u'(s) = 2K

 

Das e^{-2KT}*e^{2Ks} = e^{-2KT+2Ks}

ist die Anwendung des Potenzgesetzes ;).

 

Grüße