Aufgabe:
Sei die Menge aller reellen (3x3)-Matrizen, für die, für jede Zeile, die Summe der Elemente in dieser Zeile null ist und für jede Spalte, die Summe der Elemente in dieser Spalte ebenfalls null ist. Welche Dimension hat dieser Teilraum?
\(\begin{pmatrix} a & c & -a-c \\ b & d & -b-d \\ -a-b & -c-d & a+b+c+d \\ \end{pmatrix}\)
\( = a\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + b\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + c\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\ + d\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
Da man diese Menge in 4 unabhängige Basisvektoren zerlegen kann, hat dieser Teilraum Dimension 4.
