Lineare Abbildung phi: R^3 -> R^4,... und R-Teilraum von U beweisen, sowie Bild

Question

Könnt ihr mir Bitte helfen? ;)

Answer 1

φ ist IR-linear:

zeige  φ ( (u,v,w) + ( x,y,z) =   φ  (u,v,w) + φ ( x,y,z)   und

φ ( k * (u,v,w) )   =  k*  φ  (u,v,w) 

b)  wenn U = < v1 , v2 , v3 >  ist, dann ist

φ ( 1 ; 0 ; 0 )  = ( 0 ; 0 ; 1 ; 1 ) = v2
φ ( 0 ; 1 ; 0 )  =  ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 ) =  v2 + 2v3

φ ( 0 ; 0 ; 1 )  =  ( -1 ; 0 ; 0 ; 1 ) =  - v1 + v2

also sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren von IR³ in U ,

also Bild(φ) ⊂ U .  Also dim ( Bild(φ)) ≤ 3.

Comments

Hey mathef, vielen Dank immer für deine Super Antworten!^^

Aber ich habe noch ein ganz großes Problem, kannst du mir eventuell mal für φ ( 0 ; 1 ; 0 )  =  ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 ) =  v2 + 2v3 detailliert zeigen, wie du darauf kommst? Es ist bestimmt total einfach, aber ich finde einfach keinen Weg dafür.

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φ ( 0 ; 1 ; 0 )  =  ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 )Das ist einfach nur in die Def. eingesetzt:

a=0  b=1   c=0  dann wird aus


-c ; 0  ; a-b  ;  a+b+c


=  0  ;   0  ;   0-1  ;  0+1+0 )


=    ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 )


Jetzt musst du versuchen das durch die

Erzeugenden von U darzustellen :


x*(1;0;1;0) + y*(0;0;1;1) +z*(0;0;-1;0) =   ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 )

Das kann man dann ja systematisch ausrechnen:

x*1 + y*0 + z*0 = 0  
x*0 +y*0  +z*0 =0
x*1  + y*1 + z*(-1) = -1
x*0 + y*1 + z*0 = 1

Damit bekommst du raus:

x=0  und  y =1   und   z= 2

also  ( 0 ; 0 ; -1 ; 1 )     =   v2 + 2v3