Aufgabe:
Wir betrachten den Zeitrahmen R≥0 und wir betrachten eine Kugel, deren Radius linear in der Zeit wächst, genauer gesagt, deren Radius gegeben ist durch r(t) = 3t. Wir betrachten zudem gebannt ein einzelnes radioaktives Atom. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses im Zeit Intervall [a, b] zerfällt, sei gegeben durch
\( \int\limits_{t=a}^{t=b} \)e -t dt
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zum Zeitpunkt des Zerfalls des Atoms, das Volumen
der Kugel im Intervall [ 9/2· π, 36 · π] liegt? (Zeigen Sie den Lösungsweg klar auf und geben
Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit.)
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist, dass ich erst ein mal ausgerechnet habe wann zeitlich die Kugel in dem Intervall liegt:
V(t) = (4/3)π(3t)^3 = (4/3)π(9t^3) = 12πt^3
12πt^3 ≤ 36π aufzulösen -> 3 wurzel aus 3 ca. 1,44
9/2π) / (12π) ≤ t^3 -> 3 wurzel aus 3/8 ca. 0,72
als nächstes hätte ich jetzt die Zeiten als integralgrenzen für das Atom verwendet, doch irgendwie fühlt es sich nicht ganz richtig an.... Ich hätte gerne die Meinung von anderen. Hilfe wäre toll.
