Ideal von R mit Rechnung

Question

Aufgabe:

1) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und seien f_1,...,f_n mit n>=1 Elemente in R. Definieren wir die nicht-leere Teilmenge (f_1,...,f_n) := {r_1*f_1+...+r_n*f_n : r_1,....,r_n ∈ R}. Beweisen Sie, dass (f_1,...,f_n) ein Ideal von R ist.

2) Sei R = Z und sei I das Ideal (24,30,42,36). Bestimmen Sie a∈N, so dass I = (a).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist angehängt.

Ich bin mir unsicher ob ich den richtigen Ansatz habe bei der Aufgabe, wäre super wenn einer von euch drüber gucken könnte und mir eine Rückmeldung geben könnte.

Answer 1

Du brauchst nicht nur die Abgeschlossenheit der Addition,

sondern dass es bzgl. Addition eine Gruppe ist.

Deshalb: nicht leer und für alle a,b ∈ I ist  a-b ∈ I.

2. Seite unten: Da ℝ bzgl. der Mult. (hier nicht Skalarmult.) abg.....

b) Wenn ihr das mit dem ggT schon bewiesen habt, ist

das so OK. Ansonsten musst du zeigen, dass das gesuchte

a wirklich der ggT der gegebenen 4 Zahlen ist.

Comments

Reicht es dann auch zu zeigen, dass es ein Inverses zu jedem Element im Ideal gibt für das erste? Daraus folgt ja sofort, dass a-b im Ideal ist.

Das mit dem ggT hatten wir in Lineare Algebra I schon gehabt.

Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe!

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Reicht es dann auch zu zeigen, dass es ein Inverses zu jedem Element im Ideal gibt.

Das zusammen mit der Abgeschl. der Addition und Menge nicht leer, reicht wohl