Zeigen Sie, dass dann A+B:=\{a+b: a ∈ A, b ∈ B\} auch kompakt ist & Zeigen Sie dass K:=…

Question

Kompakte Mengen zeigen.

Text erkannt:

Es sei \( (E,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum.
(a) Es seien \( A, B \subset E \) kompakt. Zeigen Sie, dass dann \( A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\} \) auch kompakt ist.
(b) Sei \( \left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen von \( E \) mit \( K_{n+1} \subset K_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( K:=\bigcap_{n=1}^{\infty} K_{N} \neq \emptyset \).

Comments

Wie habt Ihr "kompakt" definiert? Mit Hilfe von Folgen und Teilfolgen? Wenn anders, habt Ihr ein Kriterium mit Folgen und Teilfolgen?

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Unsere Definition lautet wie folgt:

Sei (X,II.II) normierter Raum. Eine Teilmenge K von X heißt kompakt, falls jede Folge (x_k)k∈N in K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert ebenfalls in K liegt.

Answer 1

Mit der angegebenen Definition geht es so:

Sei \((x_n)\) eine Folge in \(A+B\), also \(x_n=a_n+b_n\) mit \(a_n \in A,b_n \in B\). Weil A kompakt ist, existiert eine Folge \((n_k)\) in \(\N\) mit \(a_{n_k} \to a \in A\). Weil B kompakt ist, existiert zur Folge \((b_{n_k})\) eine Teilfolge (!)  [Teilfolge von \((n_k)\)] \((m_j)\) in \(\N\) mit \(b_{m_j} \to b \in B\).

Damit gilt für die Teilfolge \((x_{m_j})\) von \((x_n)\):

$$x_{m_j}=a_{m_j}+b_{m_j} \to a+b \in A+B$$

\((a_{m_j})\) konvergiert, weil Teilfolgen von Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

(Du musst evtl. etwas an der Schreibweise tun, was die Notation von Teilfolgen von Teilfolgen betrifft)

Answer 2

Zeige: Wenn A und B Teilmengen von E sind, die beschränkt

und abgeschlossen sind, dann ist A+B dies auch.

beschränkt: Es gibt ein X∈ℝ, so dass für alle a∈A gilt ||a||≤X

und  es gibt ein Y∈ℝ, so dass für alle b∈B gilt ||b||≤y.

Sei nun c ∈ A+B, dann gibt es a∈A und b∈B mit c=a+b.

==> ||c|| = || a+b|| ≤ ||a|| + ||b|| ≤ X + Y .

Also ist X+Y eine obere Schranke für die Beträge der

Elemente von A+B.

Nun zeige noch: "abgeschlossen".

Comments

Du verwendest das Kriterium "beschränkt und abgeschlossen". Gilt dies auch in beliebigen normierten Räumen?