Topologie. Mengen A und B kompakt. Zeige A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} ist auch kompakt

Question

Habe Schwierigkeiten, diese Aufgabe zu lösen, leider ist Topologie nicht mein Thema:

Seien A,B⊂ℝⁿ kompakt. Zeige: Auch Menge A+B:= { a+b | a∈A, b∈B } ist kompakt.

Ich möchte keine Lösung, sondern Hilfe. Wäre aber über alle Ansätze dankbar!

Comments

Ist "kompakt" nicht definiert als "abgeschlossen und beschränkt" ?

"beschränkt" ist bestimmt kein Problem. Oder?

Was brauchst du für "abgeschlossen"?

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Vom Duplikat:

Titel: A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} Kompaktheit zeigen

Stichworte: kompakt,teilmenge

Wenn A und B kompakt sind , soll

A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} auch kompakt sein . Wie zeige ich das ?

Answer 1

Zum Nachweis von "kompakt" kannst du die Def. benutzen:

"Jede offene Überdeckung enthält eine endliche Teilüberdeckung."

oder - falls ihr den schon bewiesen habt - den Satz:

kompakt = beschränkt und abgeschlossen.

Das erste ist vielleicht einfacher:

Wenn du eine offene Überdeckung von A+B hast, kann man wohl

überlegen, dass daraus zwei offene Überdeckungen sowohl von A

als auch von B zu machen sind und die enthalten dann ja beide

endliche Teilüberdeckungen.

Und wenn man von den daran beteiligten offenen Mengen analog

zu A+B die Summen bildet, wird das wohl eine endliche

offene Teilüberdeckung für A+B.

Comments

Tatsächlich ist mir der Punkt mit der Überdeckung gar nicht eingefallen, obwohl wir das schon behandelt hatten!