Wie kann man zeigen, dass die Menge kompakt ist?

Question

Wie kann ich zeigen dass die Menge kompakt ist?

M={(x,y)∈R^2 : x^2+y^2≤\( \frac{1}{4} \)

Danke!

Answer 1

Hallo,

konstruiere eine Funktion \(f\), die stetig ist und eine kompakte Menge \(M'\) derart abbildet, dass \(f(M')=M\). Da stetige Bilder kompakter Mengen kompakt sind, bist du fertig.

Alternativ gibt's im \(\mathbb{R}^2\) ja den Satz von Heine-Borel, nach dem diese Menge \(M\) kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beschränkt ist ganz leicht, die abgeschlossenheit kann man dann auch über die Eigenschaft, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen abgeschlossen sind, behandeln.

Comments

Danke für die Antwort aber ich habe es noch nicht genau verstanden..Wie schaut es konkret aus wenn ich noch die Funktion f(x,y)=2y^2-2x^2+(x^2+y^2)^2 habe?

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Wieso solltest du diese Funktion "haben"? Du sollst eine konstruieren. Nimm dir ein Quadrat \([-0.5,0.5]\times [-0.5,0.5]\) als die besagte kompakte Menge. Wie bildet man nun diese Punkte alle in den Kreis ab? Tipp: Man nimmt sich einen beliebigen Punkt im Quadrat, stellt sich diesen als Vektor vor, und überlege, wie man diesen Vektor auf die richtige Länge streckt/staucht.