Zeigen Sie, dass die Menge A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} ebenfalls kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Seien A und B kompakte Mengen im normierten Raum. Zeigen Sie, dass die Menge $$ A + B = {a + b | a \in A, b \in B} $$  ebenfalls kompakt ist.

Problem/Ansatz:

… Lösungsansatz fehlt. Kann man evtl. damit arbeiten, dass a und b die Grenzwerte der Folgen in A und B sind? Eine Argumentation über Überdeckungen hatten wir in der Vorlesung nicht.

Answer 1

Weil A und B kompakt sind , gibt es eine Folge (a_n)_n∈ℕ mit

Folgengliedern aus A und Grenzwert a. Entsprechend für b.

Dann sind für alle n∈ℕ aber a_n+b_n aus A+B und die

definieren eine Folge (c_n) _n∈ℕ mit Folgengleidern aus A+B

und Grenzwert c.

Comments

Aber das gilt doch nur im Fall von den reellen Zahlen und nicht allgemein, oder?

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Hab ne einfacherer Lösung gefunden.

Answer 2

Wenn man weiß, dass das cartesische Produkt zweier kompakter Mengen
kompakt ist, kann man nutzen, dass \(s:\; X\times X\rightarrow X, \; (x,y)\mapsto x+y\)
stetig ist und das stetige Bild eines Kompaktums ist kompakt:
\(s(A\times B)=A+B\).