0 Daumen
567 Aufrufe

Aufgabe:

Seien A und B kompakte Mengen im normierten Raum. Zeigen Sie, dass die Menge A+B=a+baA,bB A + B = {a + b | a \in A, b \in B}   ebenfalls kompakt ist.


Problem/Ansatz:

… Lösungsansatz fehlt. Kann man evtl. damit arbeiten, dass a und b die Grenzwerte der Folgen in A und B sind? Eine Argumentation über Überdeckungen hatten wir in der Vorlesung nicht.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort


Weil A und B kompakt sind , gibt es eine Folge (an)n∈ℕ mit

Folgengliedern aus A und Grenzwert a. Entsprechend für b.

Dann sind für alle n∈ℕ aber an+bn aus A+B und die

definieren eine Folge (cn) n∈ℕ mit Folgengleidern aus A+B

und Grenzwert c.

Avatar von 289 k 🚀

Aber das gilt doch nur im Fall von den reellen Zahlen und nicht allgemein, oder?

Hab ne einfacherer Lösung gefunden.

0 Daumen

Wenn man weiß, dass das cartesische Produkt zweier kompakter Mengen
kompakt ist, kann man nutzen, dass s :   X×XX,  (x,y)x+ys:\; X\times X\rightarrow X, \; (x,y)\mapsto x+y
stetig ist und das stetige Bild eines Kompaktums ist kompakt:
s(A×B)=A+Bs(A\times B)=A+B.

Avatar von 29 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage