Aufgabe:
Sei M := U ∥ · ∥2 (0, 0) und f : M → ℝ definiert durch
f(x₁,x₂) = {x₁x₂ln ( - 1/2 ln(x₁2 + x₂2 ) falls (x₁,x₂) ≠ (0,0) und 0 falls (x₁,x₂) = (0,0)
a) Zeigen Sie, dass f ∈ V1(M; R) ist.
b) Untersuchen Sie die Funktionen ∂1f und ∂2f auf partielle Differenzierbarkeit in (0,0).
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist wie folgt, dabei bin ich mir allerdings nicht sicher, ob dieser zu 100% korrekt ist. Vllt habt ihr ja eine Idee oder anderen Ansatz wie man es besser machen könnte
a)
Zunächst zeigen wir, dass f stetig in (0, 0) ist.
Betrachten wir den Grenzwert:
lim_{(x_1, x_2) \to (0, 0)} f(x_1, x_2)
= \lim_{(x_1, x_2) \to (0, 0)} x_1 x_2 \ln(-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2))
Da \(\ln(x_1^2 + x_2^2) \to -\infty\) und \(\ln(-\ln(x_1^2 + x_2^2)) \to \infty\) wenn \((x_1, x_2) \to (0, 0)\), müssen wir den Term \(x_1 x_2 \ln(-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2))\) genauer untersuchen. Nutzen Sie die Ungleichung \(\ln x \leq \sqrt{x}\) für \(0 < x < 1\):
|x_1 x_2 \ln(-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2))| \le
q |x_1 x_2| \sqrt{-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2)}
Da \(x_1, x_2 \to 0\) führen die Produkte \(x_1 x_2\) und \(\sqrt{-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2)}\) zu \(0\), wenn \( (x_1, x_2) \to (0, 0) \).
Somit ist \(f\) stetig in \( (0, 0) \) und daher \(f \in C^1(G;\mathbb{R})\).
b) Partielle Differenzierbarkeit von \(\partial_1 f\) und \(\partial_2 f\) in \( (0, 0) \)**
Die partiellen Ableitungen von \(f\) für \((x_1, x_2) \neq (0, 0)\) sind:
$$ \partial_1 f(x_1, x_2) = x_2 \ln(-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2)) + \frac{x_1 x_2^2}{x_1^2 + x_2^2} $$
$$ \partial_2 f(x_1, x_2) = x_1 \ln(-\frac{1}{2}\ln(x_1^2 + x_2^2)) + \frac{x_2 x_1^2}{x_1^2 + x_2^2} $$
Für \((0,0)\):
$$ \partial_1 f(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = 0 $$
$$ \partial_2 f(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h} = 0 $$
Daher sind \(\partial_1 f\) und \(\partial_2 f\) auch an \((0,0)\) stetig und \(f\) ist \(C^1\).
