Berechnen Sie den Spearmans Rangkorrelationskoeffizienten der Ränge vom 1.

Question

Aufgabe:

Fünf Personen wurden nach ihrem Einkommen in zwei Jahren ( 1 und 2) befragt und die Ergebnisse (Ränge) befinden sich in der folgenden Tabelle:

i	1	2	3	4	5
1. Jahr r(xi)	2	1	3	5	4
2. Jahr r(yi)	2	1	4	5	3

a) Berechnen Sie den Spearmans Rangkorrelationskoeffizienten der Ränge vom 1. und 2. Jahr.
b) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten auch nach einer aquivalenten Formel.
c) Wenn sowohl die Einkommen selbst als auch die Ränge der Einkommen vorlagen, welcher Korrelationskoeffizienten kann man wahlen? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen und interpretieren Sie den Pearsons Korrelationskoeffizienten.

Stichworte: statistik

Fünf Personen wurden nach ihrem Einkommen in zwei Jahren ( 1 und 2 ) befragt und die Ergebnisse ( Ränge) befinden sich in der folgenden Tabelle:

i	1	2	3	4	5
1. Jahr r(xi)	2	1	3	5	4
2. Jahr r(yi)	2	1	4	5	3

Wie lautet die Lösung mit Rechenweg der folgenden Aufgaben:

a) Berechnen Sie den Spearmans Rangkorrelationskoeffizienten der Ränge vom 1. und 2. Jahr.
b) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten auch nach einer äquivalenten Formel.
c) Wenn sowohl die Einkommen selbst als auch die Ränge der Einkommen vorlägen, welcher Korrelationskoeffizienten kann man wählen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Wo ist denn eigentlich das Problem? Alles Relevante dazu, solltest du in deinen Unterlagen finden. Letztendlich ist es nur Einsetzen in Formeln.

a)

1.) Berechne die Differenz der Ränge, also $d_1=r_x(1)-r_y(1)$ usw.

2.) Berechne die Quadrate der Differenzen und summiere auf, also $\sum_{i=1}^{5}d_i^2$

3.) Formel für den Korrelationskoeffizienten: $\rho=1-\frac{6\sum_{i=1}^{5}d_i^2}{n(n^2-1)}$.

b) Äquivalente Formel: $\rho=\frac{\operatorname{Cov}(r_x(i),r_y(i))}{\sigma_{r_x(i)}\sigma_{r_y(i)}}$.

1.) Berechne jeweils die Summe der Werte $\sum r_x(i)$ und $\sum r_y(i)$.

2.) Berechne die Summe der Quadrate $\sum r_x(i)^2$ und $\sum r_y(i)^2$.

3.) Berechne die Summe der Abweichungsquadrate $\operatorname{SAQ}_{r_x}=\sum r_x(i)^2-\frac{(\sum r_x(i))^2}{n}$. Analog für $y$.

4.) Berechne die Summe der Produkte $\sum r_x(i)r_y(i)$.

5.) Berechne die Summe der Abweichungsprodukte $\operatorname{SAP}=\sum r_x(i)r_y(i)-\frac{\sum r_x(i)\sum r_y(i)}{n}$.

6.) Berechne den Korrelationskoeffizienten $\rho=\frac{\operatorname{SAP}}{\sqrt{\operatorname{SAQ_x}}\sqrt{\operatorname{SAQ_y}}}$. Diese Formel weicht leicht von der eigentlichen Formel oben ab, da für die Kovarianz bzw. Varianz noch durch $n-1$ geteilt werden müsste. Das kürzt sich aber heraus. Daher reicht es hier aus mit SAQ und SAP zu arbeiten.

c)

Es gibt noch den Pearson-Korrelationskoeffizienten. Spearman untersucht nur auf Monotonie (könnte auch exponentiell sein), Pearson untersucht zusätzlich auf einen linearen Zusammenhang (vergleiche lineare Regression).

All das solltest du in deinen Unterlagen auch finden. Wenn es bei der konkreten Berechnung Schwierigkeiten gibt, teile das bitte mit, indem du deine Rechnungen lieferst und sagst, was das Problem ist.

Kontrolle: $\rho=0,9$