Frage bezüglich Mittelwert, integral und Einheiten

Question

Aufgabe:

"Beim Integrieren musst du den Weg nur rückwärts gehen, mit den Einheiten."

Problem/Ansatz:

wie ist es wenn der Mittelwert vorher noch berechnet wurde, sprich mittelwertsatz mit Integralrechnung?

ich komme mit den Einheiten nie klar, wenn etwas integriert wird wird ja durch die "Flächenberechnung a x b eine Einheit weggekürzt und es bleibt die Einheit im Zähler übrig (falls es eine rate ist ohne Exponenten). Nun der Mittelwert besitzt ja keine Einheit warum nutzt man den Mittelwert Satz mit integral um bspw von einer Geschwindigkeitsrate die durchnittliche Geschwindigkeit in in den ersten 8 Sekunden zu berechnen? warum nicht einfach mit der Funktion selbst arbeiten weil genau die ist ja gesucht, die Geschwindigkeit.

ihr seht ich bin maximal verwirrt bald ist auch die Klausur und ich checke das einfach nt, pls help.

Text erkannt:

Beim Integrieren musst du den Weg nur rückwärts gehen. Aus \( \frac{m}{s^{2}} \) werden \( \frac{m}{s} \), aus \( \frac{m}{s} \) werden \( m \).

Comments

vgl:

https://www.mathelounge.de/1079261/berechnen-durchschnittliche-geschwindigkeit-ersten-sekunden

Answer 1

Nun der Mittelwert besitzt ja keine Einheit

Doch, der Mittelwert besitzt die gleiche Einheit wie die Daten, deren Mittelwert du berechnet hast.

Wenn v(t) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s ist, dann ist

        1/(5-3) · ∫₃⁵ v(t) dt

die durchschnittliche Geschwindigkeit von der dritten bis zur fünften Sekunde in m/s.

warum nutzt man den Mittelwert Satz mit integral um bspw von einer Geschwindigkeitsrate die durchnittliche Geschwindigkeit in in den ersten 8 Sekunden zu berechnen?

Das macht man nicht.

Der Mittelwertsatz besagt, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die momentane Geschwindigkeit gleich der durchschnittlichen Geschwindigkeit ist. Der Mittelwertsatz sagt nicht aus, wie man diesen Zeitpunkt ermittelt. Er ist dehalb bei der Berechnung der mittleren Geschwindigkeit nicht hilfreich.

Comments

@o :

Mittelwert Satz mit integral

meint doch offensichtlich den Mittelwertsatz der Integralrechnung, wie du ihn oben ja auch aufgeschrieben hast. Deine Ausführungen über den in der Tat nicht hilfreichen Mittelwertsatz der Differentialrechnung sind daher ihrerseits nicht hilfreich.

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meinen sie mich oder Oswald?

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meinen sie mich oder Oswald?

Er meint oswald.

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Mittelwertsatz der Integralrechnung. Seien \(t_1,t_2 \in \mathbb{R}\) mit \(t_1 < t_2\) und die Funktion \(v: [t_1,t_2]\to \mathbb{R}\) sei stetig. Dann existiert ein \(t_\mathrm{M}\in [t_1,t_2]\), so dass

        \(\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm{d}t = v(t_\mathrm{M})\)

ist. Das ist das was ich im zweiten Abschnitt meiner Antwort beschrieben habe.

Answer 2

Ist die Einheit von x ist gegeben in s (Sekunden) und die Einheit der Funktionswerte f(x) ist gegeben in m/s.

Der Differenzenquotient im Intervall [a, b] der Funktion f ist also

(f(b) - f(a)) / (b - a) in der Einheit (m/s) / (s) = m/s²

Das ist das Maß einer Beschleunigung und das möchtest du nicht haben.

Der Differenzenquotient im Intervall [a, b] der Stammfunktion F ist also

(F(b) - F(a)) / (b - a) in der Einheit (m) / (s) = m/s

Das ist ein Maß der Geschwindigkeit und das ist genau das, was du haben willst.

Wenn du die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen möchtest, mußt du außerdem die in dem Zeitraum gefahrene Strecke durch die Zeitdauer des Zeitraums teilen.

D.h. Standpunkt in m zum Zeitpunkt 8 s minus Standpunkt in m zum Zeitpunkt 0 s durch die Zeitdauer von 8 s.

Als Quotient ist das genau

(F(8) - F(0)) / (8 - 0)

Wir erinnern uns

(f(8) - f(0)) / (8 - 0)

wäre ja (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 8 s minus Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 s) durch die Zeitdauer von 8 s.

Das wäre dann aber eine Geschwindigkeitszunahme durch eine Zeitdauer und das wäre eine Beschleunigung.

Comments

ich habe da eine frage undzwar

(f(b) - f(a)) / (b - a) in der Einheit (m/s) / (s) = m/s²

würden sich die Sekunden nicht alle insgesamt auflösen und nur noch meter bleibt?

weil (m/s)-(m/s) / (s)-(s) = 

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Eine Differenz von Geschwindigkeiten bleibt eine Geschwindigkeit.

x m/s - y m/s = (x - y) m/s

Genau das Gleiche im Nenner.

Durch s zu teilen bedeutet auch mit dem Kehrwert 1/s zu multiplizieren

m/s / s = m/s * 1/s = m/s²

Solltest du das nicht verstehen, solltest du dir das dringend nochmals ansehen.

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Schau dir zum Lernen dazu z.B. auch Lernvideos bei Youtube an:

https://www.youtube.com/watch?v=FC-0Z_DIJs8

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vielen dank!!!!